Номер 1037, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1037. Если в многочлен $ax^3 + bx^2 + cx + d$ вместо $a, b, c$ и $d$ подставлять числа $-7, 4, -3$ и $6$ в каком угодно порядке, будут получаться многочлены с одной переменной, например $-7x^3 + 4x^2 - 3x + 6$, $4x^3 - 7x^2 + 6x - 3$ и т. д. Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень.

Пусть дан многочлен $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. По условию задачи, коэффициенты $a, b, c, d$ являются числами из набора $\{-7, 4, -3, 6\}$, взятыми в произвольном порядке. Это означает, что набор $\{a, b, c, d\}$ является перестановкой набора чисел $\{-7, 4, -3, 6\}$.

Требуется доказать, что все такие многочлены имеют общий корень. Общий корень — это такое число $x_0$, при подстановке которого в любой из возможных многочленов мы получим ноль. То есть $P(x_0)=0$ независимо от конкретной перестановки коэффициентов.

Проверим значение многочлена при $x=1$. Подставим $x=1$ в общее выражение для многочлена:

$P(1) = a \cdot (1)^3 + b \cdot (1)^2 + c \cdot (1) + d = a + b + c + d$

Как видим, значение многочлена в точке $x=1$ равно сумме его коэффициентов. Поскольку коэффициенты $a, b, c, d$ являются перестановкой чисел $-7, 4, -3, 6$, их сумма всегда будет постоянной и равной сумме чисел в этом наборе.

Вычислим эту сумму:

$-7 + 4 + (-3) + 6 = -3 - 3 + 6 = -6 + 6 = 0$

Таким образом, для любой комбинации коэффициентов из заданного набора, сумма $a+b+c+d$ всегда равна нулю. Это означает, что $P(1) = 0$ для любого из таких многочленов.

Следовательно, $x=1$ является корнем каждого многочлена, который можно составить по условиям задачи. Это и есть искомый общий корень. Что и требовалось доказать.

Ответ: Все многочлены вида $ax^3 + bx^2 + cx + d$, где коэффициенты $a, b, c, d$ являются перестановкой чисел $-7, 4, -3, 6$, имеют общий корень $x=1$. Это следует из того, что значение любого такого многочлена при $x=1$ равно сумме его коэффициентов $a+b+c+d$, а эта сумма для указанного набора чисел всегда равна нулю: $-7 + 4 - 3 + 6 = 0$.