Номер 1043, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1043. При каком значении $a$ графики функций $y = x^2 - 7x + a$ и $y = -3x^2 + 5x - 6$ имеют единственную общую точку? Найдите её координаты.

Для того чтобы графики функций имели единственную общую точку, система уравнений, составленная из этих функций, должна иметь единственное решение. Это означает, что уравнение, полученное приравниванием правых частей функций, должно иметь один корень.

Приравняем правые части данных функций:

$x^2 - 7x + a = -3x^2 + 5x - 6$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$x^2 - 7x + a + 3x^2 - 5x + 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(1 + 3)x^2 + (-7 - 5)x + (a + 6) = 0$

$4x^2 - 12x + (a + 6) = 0$

Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны:

$A = 4$, $B = -12$, $C = a + 6$

Вычислим дискриминант и приравняем его к нулю:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (a + 6) = 0$

$144 - 16(a + 6) = 0$

Решим это уравнение относительно $a$:

$144 = 16(a + 6)$

$a + 6 = \frac{144}{16}$

$a + 6 = 9$

$a = 9 - 6$

$a = 3$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, нужно найти координаты общей точки. Для этого найдем корень $x$ нашего квадратного уравнения при $a = 3$.

Подставим $a=3$ в уравнение $4x^2 - 12x + (a + 6) = 0$:

$4x^2 - 12x + (3 + 6) = 0$

$4x^2 - 12x + 9 = 0$

Это уравнение является полным квадратом: $(2x - 3)^2 = 0$.

$2x - 3 = 0$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$

Мы нашли абсциссу общей точки. Чтобы найти ординату $y$, подставим значение $x = 1.5$ в любую из исходных функций. Возьмем первую функцию $y = x^2 - 7x + a$ с найденным значением $a=3$.

$y = (1.5)^2 - 7(1.5) + 3$

$y = 2.25 - 10.5 + 3$

$y = 5.25 - 10.5$

$y = -5.25$

Таким образом, единственная общая точка имеет координаты $(1.5; -5.25)$.

Ответ: при $a = 3$ графики функций имеют единственную общую точку с координатами $(1.5; -5.25)$.