Номер 1047, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1047. Сумма квадратов корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 3ax + a^2 = 0$ равна 1,75. Найдите $x_1$ и $x_2$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 3ax + a^2 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 1,75, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 1.75$.

Для решения воспользуемся теоремой Виета. Для нашего уравнения $x^2 - 3ax + a^2 = 0$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-3a) = 3a$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a^2$.

Выразим сумму квадратов корней через сумму и произведение корней, используя известное тождество:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим выражения из теоремы Виета в это тождество:

$x_1^2 + x_2^2 = (3a)^2 - 2(a^2) = 9a^2 - 2a^2 = 7a^2$

Согласно условию задачи, это выражение равно 1,75. Составим и решим уравнение относительно $a$:

$7a^2 = 1.75$

Переведем 1,75 в обыкновенную дробь: $1.75 = 1 \frac{75}{100} = 1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

$7a^2 = \frac{7}{4}$

Разделив обе части на 7, получим:

$a^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда находим два возможных значения для $a$:

$a_1 = \frac{1}{2}$ и $a_2 = -\frac{1}{2}$

Теперь необходимо найти корни $x_1$ и $x_2$ для каждого из найденных значений параметра $a$.

Случай 1: $a = \frac{1}{2}$

Подставляем это значение $a$ в исходное уравнение:

$x^2 - 3(\frac{1}{2})x + (\frac{1}{2})^2 = 0$

$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} = 0$

Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:

$4x^2 - 6x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 36 - 16 = 20$

Корни уравнения:

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2(3 \pm \sqrt{5})}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$

Таким образом, первая пара корней: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$, $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$.

Случай 2: $a = -\frac{1}{2}$

Подставляем это значение $a$ в исходное уравнение:

$x^2 - 3(-\frac{1}{2})x + (-\frac{1}{2})^2 = 0$

$x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} = 0$

Умножим уравнение на 4:

$4x^2 + 6x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 36 - 16 = 20$

Корни уравнения:

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2(-3 \pm \sqrt{5})}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{4}$

Таким образом, вторая пара корней: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{4}$, $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{4}$.

Итак, существуют два набора корней, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: Корни уравнения: $x_1=\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$, $x_2=\frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ или $x_1=\frac{-3 - \sqrt{5}}{4}$, $x_2=\frac{-3 + \sqrt{5}}{4}$.