Номер 1052, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1052. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} (x^2 + y^2)(x - y) = 447, \\ xy(x - y) = 210; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy(x + y) = 30, \\ x^3 + y^3 = 35. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x^2 + y^2)(x - y) = 447 \\ xy(x - y) = 210 \end{cases} $

Заметим, что если $x - y = 0$, то второе уравнение примет вид $0 = 210$, что является ложным. Следовательно, $x - y \neq 0$.

Введем новые переменные: пусть $u = x - y$ и $v = xy$.

Выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$. Мы знаем, что $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, откуда $u^2 = x^2 + y^2 - 2v$. Таким образом, $x^2 + y^2 = u^2 + 2v$.

Подставим новые переменные в исходную систему:

$ \begin{cases} (u^2 + 2v)u = 447 \\ vu = 210 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $v$: $v = \frac{210}{u}$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$(u^2 + 2 \cdot \frac{210}{u})u = 447$

$u^3 + 420 = 447$

$u^3 = 447 - 420$

$u^3 = 27$

$u = 3$

Теперь найдем значение $v$:

$v = \frac{210}{u} = \frac{210}{3} = 70$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы получили систему:

$ \begin{cases} x - y = 3 \\ xy = 70 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 3$. Подставим во второе уравнение:

$(y + 3)y = 70$

$y^2 + 3y - 70 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-3 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

$y_2 = \frac{-3 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$

Найдем соответствующие значения $x$:

1. Если $y_1 = 7$, то $x_1 = y_1 + 3 = 7 + 3 = 10$.

2. Если $y_2 = -10$, то $x_2 = y_2 + 3 = -10 + 3 = -7$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(10; 7)$, $(-7; -10)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy(x + y) = 30 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases} $

Эта система является симметрической. Введем замену переменных на основе симметрических многочленов: пусть $s = x + y$ и $p = xy$.

Первое уравнение системы принимает вид: $ps = 30$.

Преобразуем второе уравнение. Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$.

В новых переменных второе уравнение выглядит так: $s^3 - 3ps = 35$.

Получаем систему уравнений для $s$ и $p$:

$ \begin{cases} ps = 30 \\ s^3 - 3ps = 35 \end{cases} $

Подставим значение $ps$ из первого уравнения во второе:

$s^3 - 3(30) = 35$

$s^3 - 90 = 35$

$s^3 = 125$

$s = 5$

Теперь найдем $p$ из первого уравнения:

$p \cdot 5 = 30$

$p = 6$

Вернемся к переменным $x$ и $y$. Мы имеем систему:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - st + p = 0$.

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим это уравнение. Можно разложить на множители: $(t - 2)(t - 3) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Следовательно, пары решений $(x, y)$ это $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$.