Номер 1057, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1057. Решите систему уравнений

$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ xy = 8. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ xy = 8. \end{cases} $$

Возведем первое уравнение системы в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:

$$ (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})^3 = 3^3 $$

$$ (\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{y})^3 + 3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}) = 27 $$

$$ x + y + 3\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}) = 27 $$

Теперь подставим в это уравнение значения из исходной системы. Из второго уравнения системы мы знаем, что $xy = 8$. Следовательно, $\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{8} = 2$. Из первого уравнения системы мы знаем, что $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3$.

Подставляем эти значения:

$$ x + y + 3 \cdot 2 \cdot 3 = 27 $$

$$ x + y + 18 = 27 $$

$$ x + y = 27 - 18 $$

$$ x + y = 9 $$

Теперь мы получили новую, более простую систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 9, \\ xy = 8. \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим значения из нашей новой системы:

$$ t^2 - 9t + 8 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Можно найти корни по теореме Виета (сумма корней равна 9, произведение равно 8, значит корни 1 и 8) или через дискриминант.

Найдем дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 $$

Найдем корни:

$$ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$

$$ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 $$

Корни уравнения $t=1$ и $t=8$. Это означает, что переменные $x$ и $y$ принимают эти значения. Таким образом, у нас есть два возможных решения:

1. $x = 1, y = 8$

2. $x = 8, y = 1$

Проверим оба решения, подставив их в исходную систему.

Для пары $(1, 8)$:

$$ \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{8} = 1 + 2 = 3 $$ (верно)

$$ 1 \cdot 8 = 8 $$ (верно)

Для пары $(8, 1)$:

$$ \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{1} = 2 + 1 = 3 $$ (верно)

$$ 8 \cdot 1 = 8 $$ (верно)

Оба решения подходят.

Ответ: $(1; 8), (8; 1)$.