Номер 1060, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1060. Решите систему уравнений

$\begin{cases}x + xy + y = 5, \\y + yz + z = 11, \\z + zx + x = 7.\end{cases}$

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x + xy + y = 5, \\y + yz + z = 11, \\z + zx + x = 7.\end{cases}$

Для решения этой системы преобразуем каждое уравнение. Прибавим 1 к обеим частям каждого уравнения, что позволит разложить левую часть на множители.

Первое уравнение:

$x + xy + y + 1 = 5 + 1$

$x(y + 1) + (y + 1) = 6$

$(x + 1)(y + 1) = 6$

Второе уравнение:

$y + yz + z + 1 = 11 + 1$

$y(z + 1) + (z + 1) = 12$

$(y + 1)(z + 1) = 12$

Третье уравнение:

$z + zx + x + 1 = 7 + 1$

$z(x + 1) + (x + 1) = 8$

$(z + 1)(x + 1) = 8$

В результате мы получили эквивалентную систему уравнений:

$\begin{cases} (x + 1)(y + 1) = 6, \\(y + 1)(z + 1) = 12, \\(z + 1)(x + 1) = 8.\end{cases}$

Теперь перемножим все три уравнения новой системы:

$((x + 1)(y + 1)) \cdot ((y + 1)(z + 1)) \cdot ((z + 1)(x + 1)) = 6 \cdot 12 \cdot 8$

$(x + 1)^2 (y + 1)^2 (z + 1)^2 = 576$

$((x + 1)(y + 1)(z + 1))^2 = 576$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая для произведения $(x + 1)(y + 1)(z + 1)$:

1) $(x + 1)(y + 1)(z + 1) = 24$

2) $(x + 1)(y + 1)(z + 1) = -24$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $(x + 1)(y + 1)(z + 1) = 24$.

Разделим это уравнение на каждое из уравнений преобразованной системы:

Чтобы найти $z$, разделим на $(x + 1)(y + 1) = 6$:
$\frac{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}{(x + 1)(y + 1)} = \frac{24}{6} \implies z + 1 = 4 \implies z = 3$.

Чтобы найти $x$, разделим на $(y + 1)(z + 1) = 12$:
$\frac{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}{(y + 1)(z + 1)} = \frac{24}{12} \implies x + 1 = 2 \implies x = 1$.

Чтобы найти $y$, разделим на $(z + 1)(x + 1) = 8$:
$\frac{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}{(z + 1)(x + 1)} = \frac{24}{8} \implies y + 1 = 3 \implies y = 2$.

Таким образом, первое решение системы: $(1, 2, 3)$.

Случай 2: $(x + 1)(y + 1)(z + 1) = -24$.

Аналогично первому случаю, разделим это уравнение на каждое из уравнений преобразованной системы:

Чтобы найти $z$, разделим на $(x + 1)(y + 1) = 6$:
$\frac{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}{(x + 1)(y + 1)} = \frac{-24}{6} \implies z + 1 = -4 \implies z = -5$.

Чтобы найти $x$, разделим на $(y + 1)(z + 1) = 12$:
$\frac{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}{(y + 1)(z + 1)} = \frac{-24}{12} \implies x + 1 = -2 \implies x = -3$.

Чтобы найти $y$, разделим на $(z + 1)(x + 1) = 8$:
$\frac{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}{(z + 1)(x + 1)} = \frac{-24}{8} \implies y + 1 = -3 \implies y = -4$.

Таким образом, второе решение системы: $(-3, -4, -5)$.

Проверка показывает, что оба набора решений удовлетворяют исходной системе уравнений.

Ответ: $(1, 2, 3)$, $(-3, -4, -5)$.