Номер 1059, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1059. Знаменатель обыкновенной дроби меньше квадрата её числителя на 1. Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 2, то значение дроби станет больше $1/4$, а если числитель и знаменатель уменьшить на 3, то значение дроби станет меньше $1/10$. Найдите такие дроби.

Пусть числитель искомой обыкновенной дроби равен $x$, а знаменатель — $y$. Предполагается, что $x$ и $y$ — натуральные числа, так как речь идет об обыкновенной дроби и ее числитель и знаменатель изменяются на целые числа. Таким образом, дробь имеет вид $\frac{x}{y}$.

1. Составление математической модели по условиям задачи.

Из условия "знаменатель обыкновенной дроби меньше квадрата её числителя на 1" следует уравнение:

$y = x^2 - 1$

Так как $y$ должен быть натуральным числом ($y > 0$), то $x^2 - 1 > 0$, что означает $x^2 > 1$. Поскольку $x$ — натуральное число, это условие выполняется при $x \ge 2$.

Из условия "если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 2, то значение дроби станет больше $\frac{1}{4}$" следует неравенство:

$\frac{x+2}{y+2} > \frac{1}{4}$

Из условия "если числитель и знаменатель уменьшить на 3, то значение дроби станет меньше $\frac{1}{10}$" следует неравенство:

$\frac{x-3}{y-3} < \frac{1}{10}$

Для того чтобы дробь $\frac{x-3}{y-3}$ была определена и положительна, необходимо, чтобы ее числитель и знаменатель были положительными: $x-3 > 0$ и $y-3 > 0$. Из $x-3>0$ следует $x>3$. Из $y-3>0$ и $y = x^2-1$ следует $(x^2-1)-3 > 0$, то есть $x^2 > 4$, что для натурального $x$ означает $x>2$. Объединяя все ограничения на $x$ ($x \ge 2$, $x > 3$), получаем, что $x$ — натуральное число, и $x \ge 4$.

2. Решение системы неравенств.

Подставим выражение $y = x^2 - 1$ в оба неравенства, чтобы получить систему относительно переменной $x$:

1) $\frac{x+2}{(x^2 - 1) + 2} > \frac{1}{4} \implies \frac{x+2}{x^2 + 1} > \frac{1}{4}$

2) $\frac{x-3}{(x^2 - 1) - 3} < \frac{1}{10} \implies \frac{x-3}{x^2 - 4} < \frac{1}{10}$

Решим первое неравенство. Так как при $x \ge 4$ знаменатель $x^2+1$ положителен, мы можем умножить обе части неравенства на $4(x^2+1)$ без изменения знака:

$4(x+2) > 1(x^2+1)$

$4x + 8 > x^2 + 1$

$0 > x^2 - 4x - 7$ или $x^2 - 4x - 7 < 0$

Для решения найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 7 = 0$. Используя формулу для корней, получаем:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 28}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 2 \pm \sqrt{11}$

График функции $f(x)=x^2 - 4x - 7$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями: $2 - \sqrt{11} < x < 2 + \sqrt{11}$.

Теперь решим второе неравенство. При $x \ge 4$ и числитель $x-3$, и знаменатель $x^2-4$ положительны. Умножим обе части на $10(x^2-4)$:

$10(x-3) < 1(x^2-4)$

$10x - 30 < x^2 - 4$

$0 < x^2 - 10x + 26$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 10x + 26$: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 26 = 100 - 104 = -4$.Поскольку дискриминант отрицательный, а старший коэффициент ($1$) положительный, трехчлен $x^2 - 10x + 26$ всегда положителен. Таким образом, второе неравенство выполняется для всех $x$, удовлетворяющих области определения ($x \ge 4$).

3. Определение искомых дробей.

Мы ищем натуральные числа $x$, которые удовлетворяют всем найденным условиям одновременно: $x \ge 4$ и $2 - \sqrt{11} < x < 2 + \sqrt{11}$.

Оценим числовые границы. Так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $3 < \sqrt{11} < 4$.Следовательно, $2+\sqrt{11}$ находится в интервале $(2+3, 2+4) = (5, 6)$.Значение $2-\sqrt{11}$ очевидно отрицательно.Таким образом, мы ищем натуральные числа $x$, для которых $4 \le x < 2+\sqrt{11}$. Единственные целые числа в этом диапазоне — это $4$ и $5$.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $x = 4$

Знаменатель $y = x^2 - 1 = 4^2 - 1 = 15$. Искомая дробь — $\frac{4}{15}$.
Проверка условий:$\frac{4+2}{15+2} = \frac{6}{17}$. Сравнение: $\frac{6}{17} > \frac{1}{4}$ (так как $6 \cdot 4 = 24 > 17 \cdot 1 = 17$). Верно.$\frac{4-3}{15-3} = \frac{1}{12}$. Сравнение: $\frac{1}{12} < \frac{1}{10}$ (так как $12 > 10$). Верно.

Случай 2: $x = 5$

Знаменатель $y = x^2 - 1 = 5^2 - 1 = 24$. Искомая дробь — $\frac{5}{24}$.
Проверка условий:$\frac{5+2}{24+2} = \frac{7}{26}$. Сравнение: $\frac{7}{26} > \frac{1}{4}$ (так как $7 \cdot 4 = 28 > 26 \cdot 1 = 26$). Верно.$\frac{5-3}{24-3} = \frac{2}{21}$. Сравнение: $\frac{2}{21} < \frac{1}{10}$ (так как $2 \cdot 10 = 20 < 21 \cdot 1 = 21$). Верно.

Обе дроби удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: $\frac{4}{15}$ и $\frac{5}{24}$.