Номер 1056, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1056, страница 243.

1056. Решите уравнение $(x^2 + x)^4 - 1 = 0.$

Дано уравнение $(x^2 + x)^4 - 1 = 0$.

Для решения перенесем 1 в правую часть уравнения:
$(x^2 + x)^4 = 1$.

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей. Поскольку степень корня (4) четная, основание степени может быть равно как 1, так и -1, так как $1^4 = 1$ и $(-1)^4 = 1$. Это приводит нас к совокупности двух уравнений:
1) $x^2 + x = 1$
2) $x^2 + x = -1$
Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения: $x^2 + x = 1$.
Приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + x - 1 = 0$.
Найдем корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Решение второго уравнения: $x^2 + x = -1$.
Приведем его к стандартному виду:
$x^2 + x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант этого уравнения:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет только два действительных корня, которые были найдены при решении первого уравнения.
Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.