Номер 1049, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1049. При каком значении $m$ корни уравнения $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ принадлежат интервалу $(-2; 4)$?

Для того чтобы найти значения параметра $m$, при которых корни уравнения $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ принадлежат интервалу $(-2; 4)$, сначала найдем сами корни этого уравнения.

Заметим, что левую часть уравнения можно преобразовать, выделив полный квадрат:
$(x^2 - 2mx + m^2) - 1 = 0$
$(x - m)^2 - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:
$(x - m)^2 = 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:
$x - m = \pm 1$

Отсюда находим два корня уравнения:
$x_1 = m - 1$
$x_2 = m + 1$

Согласно условию задачи, оба корня должны принадлежать интервалу $(-2; 4)$. Это означает, что должны одновременно выполняться два неравенства:
$-2 < x_1 < 4$ и $-2 < x_2 < 4$.

Запишем это в виде системы двойных неравенств:
$ \begin{cases} -2 < m - 1 < 4 \\ -2 < m + 1 < 4 \end{cases} $

Решим первое неравенство. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-2 + 1 < m < 4 + 1$
$-1 < m < 5$
Решение этого неравенства: $m \in (-1; 5)$.

Решим второе неравенство. Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-2 - 1 < m < 4 - 1$
$-3 < m < 3$
Решение этого неравенства: $m \in (-3; 3)$.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо найти пересечение полученных интервалов: $(-1; 5) \cap (-3; 3)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-1; 3)$.

Ответ: $m \in (-1; 3)$.