Номер 1050, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

$x^4 + ax^2 + a - 1 = 0$

Данное уравнение является биквадратным: $x^4 + ax^2 + a - 1 = 0$.Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$:$t^2 + at + (a - 1) = 0$

Теперь проанализируем, как количество корней исходного биквадратного уравнения зависит от корней этого квадратного уравнения.

• Если квадратное уравнение имеет корень $t > 0$, то уравнение $x^2 = t$ дает два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt{t}$ и $x_2 = -\sqrt{t}$.
• Если квадратное уравнение имеет корень $t = 0$, то уравнение $x^2 = 0$ дает один действительный корень: $x = 0$.
• Если квадратное уравнение имеет корень $t < 0$, то уравнение $x^2 = t$ не имеет действительных корней.

По условию задачи, исходное уравнение должно иметь ровно два различных действительных корня. Это возможно в двух случаях:

1. Квадратное уравнение для $t$ имеет два различных корня, один из которых положителен, а другой отрицателен.
Пусть $t_1 > 0$ и $t_2 < 0$. Тогда из $x^2 = t_1$ мы получаем два различных корня для $x$, а из $x^2 = t_2$ — ни одного.Согласно теореме Виета, для того чтобы корни квадратного уравнения $t^2 + pt + q = 0$ имели разные знаки, необходимо и достаточно, чтобы их произведение $q$ было отрицательным ($t_1 t_2 < 0$).В нашем случае $q = a - 1$. Следовательно, должно выполняться неравенство:$a - 1 < 0$$a < 1$При этом дискриминант $D$ должен быть положителен, чтобы было два различных корня. Найдем дискриминант:$D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 1) = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$Если $a < 1$, то $a \ne 2$, и, следовательно, $D = (a - 2)^2 > 0$. Это означает, что при $a < 1$ квадратное уравнение всегда имеет два различных действительных корня. Так как их произведение $(a-1)$ отрицательно, один корень положителен, а другой отрицателен. Этот случай полностью удовлетворяет условию задачи.

2. Квадратное уравнение для $t$ имеет один единственный корень (кратный корень), и этот корень положителен.
Единственный корень существует, когда дискриминант равен нулю.$D = (a - 2)^2 = 0$$a = 2$Найдем этот корень при $a=2$. Уравнение для $t$ принимает вид:$t^2 + 2t + (2 - 1) = 0$$t^2 + 2t + 1 = 0$$(t + 1)^2 = 0$$t = -1$Этот корень является отрицательным, а не положительным. Следовательно, уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней. Значит, при $a=2$ исходное уравнение не имеет корней вообще. Этот случай не подходит.

Рассмотрим также пограничный случай $a=1$.При $a=1$ уравнение для $t$ имеет вид $t^2 + t = 0$, или $t(t+1)=0$. Корни этого уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -1$.Из $x^2 = 0$ получаем один корень $x=0$.Из $x^2 = -1$ действительных корней нет.Таким образом, при $a=1$ исходное уравнение имеет только один корень, а не два.

Объединяя результаты анализа, приходим к выводу, что биквадратное уравнение имеет ровно два различных корня только в первом рассмотренном случае.

Ответ: $a < 1$