Номер 1045, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1045. При каких значениях m квадратный трёхчлен

$mx^2 + (m - 1)x + m - 1$

принимает лишь отрицательные значения?

Для того чтобы квадратный трёхчлен $f(x) = mx^2 + (m-1)x + m-1$ принимал лишь отрицательные значения при любых значениях $x$, необходимо и достаточно, чтобы его график (парабола) целиком лежал ниже оси абсцисс.

Сначала рассмотрим случай, когда данное выражение не является квадратным, то есть когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $m=0$.При $m=0$ выражение принимает вид:$f(x) = (0-1)x + (0-1) = -x - 1$.Это линейная функция, график которой — прямая. Эта функция принимает как положительные (например, при $x=-2$, $f(-2)=1$), так и отрицательные значения. Следовательно, случай $m=0$ не удовлетворяет условию задачи.

Теперь рассмотрим случай, когда $m \neq 0$. В этом случае $f(x)$ является квадратичной функцией. Чтобы её график (парабола) полностью находился под осью $x$, должны выполняться два условия одновременно:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент (коэффициент при $x^2$) должен быть отрицательным.
$m < 0$

2. Парабола не должна пересекать ось $x$, то есть квадратное уравнение $mx^2 + (m-1)x + m-1 = 0$ не должно иметь действительных корней. Это означает, что его дискриминант $D$ должен быть отрицательным.
$D < 0$

Вычислим дискриминант. Коэффициенты трёхчлена: $a=m$, $b=m-1$, $c=m-1$.
$D = b^2 - 4ac = (m-1)^2 - 4 \cdot m \cdot (m-1)$

Теперь решим неравенство $D < 0$:
$(m-1)^2 - 4m(m-1) < 0$
Вынесем общий множитель $(m-1)$ за скобки:
$(m-1) \cdot ((m-1) - 4m) < 0$
$(m-1)(-3m-1) < 0$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$(m-1)(3m+1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни выражения $(m-1)(3m+1)$:
$m-1=0 \implies m_1=1$
$3m+1=0 \implies m_2=-1/3$
Парабола $y=(m-1)(3m+1)$ ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.Решение неравенства: $m \in (-\infty, -1/3) \cup (1, \infty)$.

Итак, мы имеем систему из двух условий:$$ \begin{cases} m < 0 \\ m \in (-\infty, -1/3) \cup (1, \infty) \end{cases} $$Найдём пересечение решений этих неравенств. Из первого условия следует, что $m$ должно быть отрицательным. Из второго условия подходят интервалы $(-\infty, -1/3)$ и $(1, \infty)$. Пересекая $m<0$ с этим решением, получаем, что подходит только интервал $(-\infty, -1/3)$.

Ответ: $m \in (-\infty; -1/3)$.