Номер 1039, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1039, страница 242.

1039. При каком значении $a$ сумма квадратов корней квадратного трёхчлена $x^2 - (a - 2)x - a - 1$ принимает наименьшее значение?

Рассмотрим данный квадратный трёхчлен: $x^2 - (a - 2)x - a - 1$. Чтобы трёхчлен имел корни, его уравнение $x^2 - (a - 2)x - a - 1 = 0$ должно иметь решение. Для этого найдём дискриминант $D$ и убедимся, что он неотрицателен.

$D = b^2 - 4ac = (-(a - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a - 1) = (a - 2)^2 + 4(a + 1)$
$D = (a^2 - 4a + 4) + (4a + 4) = a^2 - 4a + 4 + 4a + 4 = a^2 + 8$.

Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, то $D = a^2 + 8$ всегда будет больше нуля. Это означает, что квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $a$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного трёхчлена. Согласно теореме Виета для приведённого квадратного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(a-2)) = a - 2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -a - 1$.

Нам необходимо найти наименьшее значение суммы квадратов корней, то есть величины $S = x_1^2 + x_2^2$. Выразим эту сумму через сумму и произведение корней:
$S = x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим выражения для $x_1 + x_2$ и $x_1 \cdot x_2$, чтобы получить зависимость $S$ от параметра $a$:
$S(a) = (a - 2)^2 - 2(-a - 1) = (a^2 - 4a + 4) + 2a + 2 = a^2 - 2a + 6$.

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = a^2 - 2a + 6$. Её график — это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($1 > 0$). Следовательно, своё наименьшее значение эта функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -B/(2A)$. В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты: $A=1$, $B=-2$. Найдём значение $a$, при котором $S(a)$ минимально:
$a_0 = - \frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.

Таким образом, сумма квадратов корней данного квадратного трёхчлена принимает наименьшее значение при $a=1$.

Ответ: $1$.