Номер 1041, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1041. Постройте график функции:

a) $y = 2x^2 - 3|x| - 2$;

б) $y = \left|\frac{1}{2}x^2 - x\right| - 4.

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 3|x| - 2$.

Так как в уравнение входит $|x|$, а $x^2 = |x|^2$, данная функция является четной, то есть $y(-x) = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Поэтому достаточно построить часть графика для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить ее относительно оси OY.

При $x \ge 0$, модуль раскрывается как $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = 2x^2 - 3x - 2$.
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля).

Найдем координаты вершины этой параболы:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$.
$y_в = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) - 2 = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{25}{8} = -3.125$.
Координаты вершины: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат для $x \ge 0$:
1. С осью OY (при $x=0$):
$y(0) = 2(0)^2 - 3(0) - 2 = -2$. Точка пересечения: $(0, -2)$.
2. С осью OX (при $y=0$):
$2x^2 - 3x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{3+5}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$.
Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=2$. Точка пересечения: $(2, 0)$.

Итак, для $x \ge 0$ мы строим часть параболы, проходящую через точки $(0, -2)$, $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$ (вершина) и $(2, 0)$.

Для построения полного графика отражаем полученную кривую симметрично относительно оси OY. При этом точка $(2, 0)$ перейдет в $(-2, 0)$, а вершина $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$ - в точку $(-\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$. Точка $(0, -2)$ останется на месте.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух частей парабол. Для $x \ge 0$ это график параболы $y = 2x^2 - 3x - 2$, а для $x < 0$ — график параболы $y = 2x^2 + 3x - 2$. График симметричен относительно оси OY, имеет вид буквы "W", пересекает ось OX в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$, ось OY в точке $(0, -2)$ и имеет две вершины в точках $(\frac{3}{4}, -3.125)$ и $(-\frac{3}{4}, -3.125)$.

Рассмотрим функцию $y = |\frac{1}{2}x^2 - |x| - 4|$.

Построение графика этой функции можно разбить на два этапа:
1. Построить график вспомогательной функции $g(x) = \frac{1}{2}x^2 - |x| - 4$.
2. Части графика $g(x)$, которые лежат ниже оси OX (где $g(x) < 0$), отразить симметрично относительно оси OX.

Этап 1: Построение графика $g(x) = \frac{1}{2}x^2 - |x| - 4$.
Эта функция, как и в предыдущем пункте, является четной. Строим ее для $x \ge 0$ и отражаем относительно оси OY.
При $x \ge 0$ имеем $|x|=x$, и функция принимает вид $g(x) = \frac{1}{2}x^2 - x - 4$.
Это парабола с ветвями вверх ($a = \frac{1}{2} > 0$).

Найдем ее вершину:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1$.
$y_в = g(1) = \frac{1}{2}(1)^2 - 1 - 4 = \frac{1}{2} - 5 = -4.5$.
Вершина параболы: $(1, -4.5)$.

Найдем точки пересечения с осями для $x \ge 0$:
1. С осью OY ($x=0$): $g(0) = -4$. Точка $(0, -4)$.
2. С осью OX ($g(x)=0$):
$\frac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0$. Умножим на 2:
$x^2 - 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -2$.
Так как мы рассматриваем $x \ge 0$, нам подходит корень $x=4$. Точка $(4, 0)$.

Строим график $g(x)$ для $x \ge 0$ по точкам $(0, -4)$, $(1, -4.5)$ (вершина) и $(4, 0)$. Затем отражаем эту кривую относительно оси OY. Получаем вторую половину графика с вершиной в точке $(-1, -4.5)$ и пересечением с OX в точке $(-4, 0)$.
График $g(x)$ — это W-образная кривая, которая находится ниже оси OX на интервале $(-4, 4)$.

Этап 2: Построение графика $y = |g(x)|$.
Теперь мы применяем внешнее абсолютное значение. Это означает, что все, что находится над осью OX или на ней, остается на месте, а все, что под ней, — симметрично отражается вверх.
- Части графика $g(x)$ на интервалах $(-\infty, -4]$ и $[4, \infty)$ остаются без изменений. - Часть графика $g(x)$ на интервале $(-4, 4)$ отражается относительно оси OX.

В результате отражения:
- Точки пересечения с осью OX $(-4, 0)$ и $(4, 0)$ остаются на месте. Они станут точками излома графика. - Точка локального максимума $g(x)$ в $(0, -4)$ станет точкой локального минимума для $y(x)$ в $(0, 4)$. - Точки минимумов $g(x)$ в $(1, -4.5)$ и $(-1, -4.5)$ станут точками локальных максимумов для $y(x)$ в $(1, 4.5)$ и $(-1, 4.5)$.

Ответ: График функции получается из графика W-образной кривой $g(x) = \frac{1}{2}x^2 - |x| - 4$ путем отражения ее отрицательной части (на интервале $x \in (-4, 4)$) относительно оси OX. Итоговый график расположен полностью в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), имеет точки излома на оси OX в $x = -4$ и $x = 4$, локальный минимум в точке $(0, 4)$ и два локальных максимума в точках $(-1, 4.5)$ и $(1, 4.5)$.