Номер 1034, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1034. Постройте график функции:

a) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2};$

б) $y = \frac{x^2 - 2x}{x};$

в) $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{2 - x}.$

а) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Для построения графика сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, откуда следует, что $x \neq 2$.

Далее упростим выражение для функции. Числитель $x^2 - 4$ является разностью квадратов, поэтому его можно разложить на множители: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Подставим это в исходное уравнение: $y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$.

Поскольку $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$, получив линейную функцию $y = x + 2$.

Таким образом, график исходной функции — это прямая $y = x + 2$, из которой удалена точка, соответствующая $x = 2$. Такую точку называют "выколотой".

Найдём координаты этой выколотой точки. Подставим $x = 2$ в упрощённое уравнение прямой: $y = 2 + 2 = 4$.

Итак, график функции — это прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(2, 4)$. Для построения прямой можно взять две точки, например, $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(2, 4)$.

б) $y = \frac{x^2 - 2x}{x}$

Найдём область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Упростим выражение. В числителе $x^2 - 2x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - 2x = x(x - 2)$.

Функция примет вид: $y = \frac{x(x - 2)}{x}$.

Так как $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $x$. В результате получаем линейную функцию $y = x - 2$.

Графиком исходной функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой при $x = 0$.

Найдём координаты этой точки. Подставим $x = 0$ в упрощённое уравнение: $y = 0 - 2 = -2$.

Следовательно, график функции — это прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(0, -2)$. Для построения прямой можно взять точки $(2, 0)$ и $(1, -1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(0, -2)$.

в) $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{2 - x}$

Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Упростим выражение. Разложим числитель $x^2 - 3x + 2$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Тогда числитель можно представить в виде: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Подставим это в исходную функцию: $y = \frac{(x - 1)(x - 2)}{2 - x}$.

Заметим, что $(x - 2) = -(2 - x)$. Преобразуем выражение: $y = \frac{(x - 1)(-(2 - x))}{2 - x}$.

Поскольку $x \neq 2$, сокращаем дробь на $(2 - x)$ и получаем $y = -(x - 1)$, что равносильно $y = -x + 1$.

Графиком функции является прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой при $x = 2$.

Найдём координаты выколотой точки. Подставим $x = 2$ в упрощённое уравнение: $y = -2 + 1 = -1$.

Итак, график функции — это прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой $(2, -1)$. Для построения прямой можно взять точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой $(2, -1)$.