Номер 1061, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1061. Найдите значение $m$, при котором корни уравнения $x^3 - 9x^2 + mx - 15 = 0$ образуют арифметическую прогрессию.

Дано кубическое уравнение $x^3 - 9x^2 + mx - 15 = 0$.По условию, его корни $x_1, x_2, x_3$ образуют арифметическую прогрессию.Пусть эти корни равны $a - d, a, a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения вида $x^3 + px^2 + qx + r = 0$, согласно которой:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -p$
• Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = q$
• Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -r$

В нашем уравнении коэффициенты равны: $p = -9$, $q = m$, $r = -15$.

1. Нахождение одного из корней
Применим первую формулу Виета для суммы корней:$x_1 + x_2 + x_3 = -(-9) = 9$.
Подставим в это равенство наши обозначения для корней:$(a - d) + a + (a + d) = 9$.
Упростим выражение:$3a = 9$.
Отсюда находим средний член прогрессии:$a = 3$.
Таким образом, один из корней уравнения равен 3.

2. Нахождение значения m
Поскольку $x = 3$ является корнем уравнения, он должен обращать уравнение в верное равенство при подстановке. Подставим $x = 3$ в исходное уравнение:$3^3 - 9 \cdot 3^2 + m \cdot 3 - 15 = 0$.
Выполним вычисления:$27 - 9 \cdot 9 + 3m - 15 = 0$;
$27 - 81 + 3m - 15 = 0$;
$-54 + 3m - 15 = 0$;
$3m - 69 = 0$;
$3m = 69$;
$m = \frac{69}{3}$;
$m = 23$.

Проверка (необязательно, но полезно)
Мы нашли $m=23$ и один из корней $a=3$. Теперь можем найти остальные корни, используя формулу Виета для произведения корней:$x_1x_2x_3 = -(-15) = 15$.
Подставляем наши обозначения:$(a - d) \cdot a \cdot (a + d) = 15$.
Подставляем известное значение $a=3$:$(3 - d) \cdot 3 \cdot (3 + d) = 15$.
$3 \cdot (9 - d^2) = 15$;
$9 - d^2 = 5$;
$d^2 = 4$, откуда $d = 2$ или $d = -2$.
Если $d=2$, корни равны $3-2=1$, $3$, $3+2=5$.Если $d=-2$, корни равны $3-(-2)=5$, $3$, $3+(-2)=1$.В обоих случаях набор корней один и тот же: $1, 3, 5$.
Теперь проверим значение $m$ по формуле для суммы попарных произведений:$m = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = 3 + 5 + 15 = 23$.
Значение $m=23$ подтвердилось.

Ответ: $m = 23$