Номер 1063, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1063. За сколько часов может выполнить работу каждый из трёх рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго? Известно, что если бы третий рабочий проработал один 48 ч, то для окончания работы первому потребовалось бы 10 ч, а второму — 15 ч.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Пусть весь объем работы равен 1.
• $p_1$, $p_2$, $p_3$ — производительности труда первого, второго и третьего рабочих соответственно (какую часть работы они выполняют за 1 час).
• $t_1$, $t_2$, $t_3$ — время (в часах), за которое каждый рабочий может выполнить всю работу в одиночку. Тогда $t_1 = 1/p_1$, $t_2 = 1/p_2$, $t_3 = 1/p_3$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго:

$p_3 = \frac{p_1 + p_2}{2}$

2. Если третий рабочий проработает 48 часов, он выполнит часть работы, равную $48 \cdot p_3$. Оставшаяся часть работы составит $1 - 48 \cdot p_3$.

Эту оставшуюся часть работы первый рабочий может выполнить за 10 часов, а второй — за 15 часов. Это дает нам еще два уравнения:

$10 \cdot p_1 = 1 - 48 \cdot p_3$

$15 \cdot p_2 = 1 - 48 \cdot p_3$

Получили систему из трёх уравнений:

$\begin{cases}p_3 = \frac{p_1 + p_2}{2} \\10p_1 = 1 - 48p_3 \\15p_2 = 1 - 48p_3\end{cases}$

Из второго и третьего уравнений следует, что $10p_1 = 15p_2$. Выразим $p_1$ через $p_2$:

$p_1 = \frac{15}{10}p_2 = 1.5p_2$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$p_3 = \frac{1.5p_2 + p_2}{2} = \frac{2.5p_2}{2} = 1.25p_2$

Теперь у нас все производительности выражены через $p_2$. Подставим выражение для $p_3$ в третье уравнение системы:

$15p_2 = 1 - 48p_3 \implies 15p_2 = 1 - 48(1.25p_2)$

Решим это уравнение относительно $p_2$:

$15p_2 = 1 - 60p_2$

$15p_2 + 60p_2 = 1$

$75p_2 = 1$

$p_2 = \frac{1}{75}$

Теперь, зная $p_2$, найдем производительности остальных рабочих:

$p_1 = 1.5p_2 = 1.5 \cdot \frac{1}{75} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{75} = \frac{3}{150} = \frac{1}{50}$

$p_3 = 1.25p_2 = 1.25 \cdot \frac{1}{75} = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{75} = \frac{5}{300} = \frac{1}{60}$

Наконец, найдем время, за которое каждый рабочий выполнит всю работу:

• Для первого рабочего: $t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{1/50} = 50$ часов.
• Для второго рабочего: $t_2 = \frac{1}{p_2} = \frac{1}{1/75} = 75$ часов.
• Для третьего рабочего: $t_3 = \frac{1}{p_3} = \frac{1}{1/60} = 60$ часов.

Ответ: первый рабочий может выполнить работу за 50 часов, второй — за 75 часов, а третий — за 60 часов.