Номер 1069, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1069. Известно, что $y = f(x)$ — линейная функция и $x_1, x_2, x_3, \dots$ — арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность $f(x_1), f(x_2), \dots$ является арифметической прогрессией.

Поскольку функция $y = f(x)$ является линейной, ее можно записать в виде $f(x) = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые действительные числа, причем $k \neq 0$.

Последовательность $x_1, x_2, x_3, \dots$ является арифметической прогрессией. Это означает, что для любого натурального номера $n$ существует такое постоянное число $d$ (разность прогрессии), что выполняется равенство: $x_{n+1} = x_n + d$, или $x_{n+1} - x_n = d$.

Чтобы доказать, что последовательность $f(x_1), f(x_2), \dots$ является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любым ее последующим членом и предыдущим является постоянной величиной.

Рассмотрим разность $f(x_{n+1}) - f(x_n)$ для произвольного натурального $n$.

Подставим в это выражение формулу для линейной функции: $f(x_{n+1}) - f(x_n) = (k \cdot x_{n+1} + b) - (k \cdot x_n + b)$

Раскроем скобки и упростим выражение: $k \cdot x_{n+1} + b - k \cdot x_n - b = k \cdot x_{n+1} - k \cdot x_n$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки: $k(x_{n+1} - x_n)$

Так как мы знаем, что $x_{n+1} - x_n = d$, то можем подставить это значение в полученное выражение: $k(x_{n+1} - x_n) = k \cdot d$

Полученное значение $k \cdot d$ является произведением двух констант: $k$ (угловой коэффициент линейной функции) и $d$ (разность арифметической прогрессии $x_n$). Следовательно, их произведение $k \cdot d$ также является постоянной величиной, не зависящей от $n$.

Таким образом, разность $f(x_{n+1}) - f(x_n)$ постоянна и равна $k \cdot d$. Это по определению означает, что последовательность $f(x_1), f(x_2), \dots$ является арифметической прогрессией.

Ответ: Разность $f(x_{n+1}) - f(x_n)$ равна постоянной величине $k \cdot d$, где $k$ - коэффициент наклона линейной функции, а $d$ - разность исходной арифметической прогрессии. Следовательно, последовательность $f(x_1), f(x_2), \dots$ является арифметической прогрессией. Что и требовалось доказать.