Номер 1071, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1071. Пусть $a_1, a_2, \dots$ — арифметическая прогрессия с положительными членами. Докажите, что сумма первых $n$ членов последовательности $(x_n)$, где $x_n = \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}}$, равна $\frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$.

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с положительными членами и разностью $d$.Требуется доказать, что сумма $S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$, где $x_k = \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$, равна $\frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$.

Для начала преобразуем общий член последовательности $x_k$. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}$:$x_k = \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}} \cdot \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_{k+1}})^2 - (\sqrt{a_k})^2} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k}$.

Поскольку $(a_n)$ является арифметической прогрессией, разность между любыми двумя последовательными членами постоянна и равна разности прогрессии $d$. Таким образом, $a_{k+1} - a_k = d$.

Рассмотрим два возможных случая для разности прогрессии $d$.

Случай 1: $d \neq 0$

Если разность прогрессии не равна нулю, то выражение для $x_k$ можно записать как:$x_k = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$.

Теперь найдем сумму $S_n$ первых $n$ членов последовательности $(x_n)$:$S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d} = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})$.

Сумма $\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})$ является телескопической, так как все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются при раскрытии скобок:$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = (\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + \dots + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}}) + (\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n})$.После сокращения остаются только первый и последний члены: $\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}$.

Таким образом, сумма $S_n$ равна:$S_n = \frac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}}{d}$.

Чтобы привести это выражение к требуемому виду, воспользуемся формулой для $(n+1)$-го члена арифметической прогрессии: $a_{n+1} = a_1 + nd$. Из этой формулы следует, что $a_{n+1} - a_1 = nd$.Теперь преобразуем полученное выражение для $S_n$, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1}$:$S_n = \frac{(\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1})}{d(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1})} = \frac{a_{n+1} - a_1}{d(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}})}$.

Подставим $a_{n+1} - a_1 = nd$:$S_n = \frac{nd}{d(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}})}$.

Сократив на $d$ (что возможно, так как $d \neq 0$), получаем искомое равенство:$S_n = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$.

Случай 2: $d = 0$

Если разность прогрессии равна нулю, то все члены прогрессии равны между собой: $a_k = a_1$ для любого $k$. Так как по условию члены положительные, то $a_1 > 0$.В этом случае каждый член последовательности $(x_n)$ равен:$x_k = \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_1}} = \frac{1}{2\sqrt{a_1}}$.

Сумма первых $n$ членов будет равна:$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2\sqrt{a_1}} = n \cdot \frac{1}{2\sqrt{a_1}} = \frac{n}{2\sqrt{a_1}}$.

Проверим правую часть доказываемого тождества. Так как $d=0$, то $a_{n+1} = a_1$.$\frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}} = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_1}} = \frac{n}{2\sqrt{a_1}}$.

Левая и правая части равенства совпали, следовательно, формула верна и для случая $d=0$.

Таким образом, равенство доказано для любой арифметической прогрессии с положительными членами.

Ответ: Что и требовалось доказать.