Номер 1017, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1017. Найдите область определения каждого из выражений:

а) $2x - 5$, $\frac{1}{2x - 5}$ и $\sqrt{2x - 5}$;

б) $2x^2 + 7x - 4$, $\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}$ и $\sqrt{\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}}$;

в) $x^2 + 1$, $\sqrt{x^2 + 1}$ и $\frac{1}{x^2 + 1}$.

а) Для выражения $2x - 5$:
Это линейный многочлен, который определен для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Для выражения $\frac{1}{2x - 5}$:
Это дробно-рациональное выражение. Его область определения находится из условия, что знаменатель дроби не равен нулю.
$2x - 5 \neq 0$
$2x \neq 5$
$x \neq 2.5$
Ответ: $x \in (-\infty; 2.5) \cup (2.5; +\infty)$.

Для выражения $\sqrt{2x - 5}$:
Подкоренное выражение для квадратного корня должно быть неотрицательным.
$2x - 5 \ge 0$
$2x \ge 5$
$x \ge 2.5$
Ответ: $x \in [2.5; +\infty)$.

б) Для выражения $2x^2 + 7x - 4$:
Это квадратичный многочлен, который определен для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Для выражения $\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}$:
Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Найдем корни уравнения $2x^2 + 7x - 4 = 0$, чтобы исключить их из области определения.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 9}{4}$.
$x_1 = \frac{-7 - 9}{4} = -4$; $x_2 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
Таким образом, область определения — все действительные числа, кроме $-4$ и $0.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 0.5) \cup (0.5; +\infty)$.

Для выражения $\sqrt{\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}}$:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Так как оно находится в знаменателе, оно должно быть строго положительным.
$2x^2 + 7x - 4 > 0$.
Графиком функции $y=2x^2 + 7x - 4$ является парабола с ветвями вверх (т.к. $a=2 > 0$). Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Следовательно, $x < -4$ или $x > 0.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$.

в) Для выражения $x^2 + 1$:
Это квадратичный многочлен, который определен для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Для выражения $\sqrt{x^2 + 1}$:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Неравенство $x^2 + 1 \ge 0$ выполняется для всех действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, и, следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Для выражения $\frac{1}{x^2 + 1}$:
Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Уравнение $x^2 + 1 = 0$ не имеет действительных корней ($x^2 = -1$). Знаменатель всегда положителен ($x^2 + 1 \ge 1$), поэтому он никогда не равен нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.