Номер 1013, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1013. Докажите, что при любых $x$:

а) трёхчлен $x^2 - 3x + 200$ принимает положительные значения;

б) трёхчлен $-x^2 + 22x - 125$ принимает отрицательные значения;

в) трёхчлен $x^2 - 16x + 64$ принимает неотрицательные значения;

г) трёхчлен $10x - x^2 - 25$ принимает неположительные значения.

а) Чтобы доказать, что трёхчлен $x^2 - 3x + 200$ принимает положительные значения при любых $x$, рассмотрим его как квадратичную функцию $y = x^2 - 3x + 200$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1 > 0$). Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс, найдём дискриминант $D$.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 200 = 9 - 800 = -791$.
Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), у трёхчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ox. Это означает, что трёхчлен принимает только положительные значения при любых значениях $x$.
Другой способ (выделение полного квадрата):
$x^2 - 3x + 200 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + 200 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 200 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{791}{4}$.
Выражение $(x - \frac{3}{2})^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю). Наименьшее значение этого слагаемого равно $0$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 + \frac{791}{4} = \frac{791}{4}$, что является положительным числом. Значит, трёхчлен всегда принимает положительные значения.
Ответ: Трёхчлен $x^2 - 3x + 200$ принимает только положительные значения, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что трёхчлен $-x^2 + 22x - 125$ принимает отрицательные значения при любых $x$, рассмотрим его как квадратичную функцию $y = -x^2 + 22x - 125$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ ($a=-1 < 0$). Найдём дискриминант $D$.
$D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-125) = 484 - 500 = -16$.
Так как $D < 0$, у трёхчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вниз, вся парабола лежит ниже оси Ox. Это означает, что трёхчлен принимает только отрицательные значения при любых значениях $x$.
Другой способ (выделение полного квадрата):
$-x^2 + 22x - 125 = -(x^2 - 22x + 125) = -((x^2 - 2 \cdot x \cdot 11 + 11^2) - 11^2 + 125) = -((x - 11)^2 - 121 + 125) = -((x - 11)^2 + 4) = -(x - 11)^2 - 4$.
Выражение $(x - 11)^2$ всегда неотрицательно. Тогда $-(x-11)^2$ всегда неположительно (меньше или равно нулю). Наибольшее значение этого слагаемого равно $0$. Следовательно, наибольшее значение всего выражения равно $0 - 4 = -4$, что является отрицательным числом. Значит, трёхчлен всегда принимает отрицательные значения.
Ответ: Трёхчлен $-x^2 + 22x - 125$ принимает только отрицательные значения, что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать, что трёхчлен $x^2 - 16x + 64$ принимает неотрицательные значения (то есть $\ge 0$) при любых $x$, заметим, что он представляет собой формулу квадрата разности.
Используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:
$x^2 - 16x + 64 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = (x - 8)^2$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом. То есть, $(x - 8)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
Это означает, что трёхчлен принимает значения, большие или равные нулю, то есть неотрицательные значения.
Ответ: Трёхчлен $x^2 - 16x + 64$ принимает только неотрицательные значения, что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать, что трёхчлен $10x - x^2 - 25$ принимает неположительные значения (то есть $\le 0$) при любых $x$, преобразуем его, вынеся $-1$ за скобки.
$10x - x^2 - 25 = -(x^2 - 10x + 25)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности:
$x^2 - 10x + 25 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x - 5)^2$.
Следовательно, исходный трёхчлен можно записать как $-(x - 5)^2$.
Так как $(x - 5)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $-(x - 5)^2 \le 0$ для любого $x$.
Это означает, что трёхчлен принимает значения, меньшие или равные нулю, то есть неположительные значения.
Ответ: Трёхчлен $10x - x^2 - 25$ принимает только неположительные значения, что и требовалось доказать.