Номер 1012, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1012. Решите неравенство:

а) $(2x + 1)(x + 4) - 3x(x + 2) < 0;$

б) $(3x - 2)^2 - 4x(2x - 3) > 0;$

в) $(1 - 6x)(1 + 6x) + 7x(5x - 2) > 14;$

г) $(5x + 2)(x - 1) - (2x + 1)(2x - 1) < 27;$

д) $(2x - 1)(1 + 2x) - x(x + 4) < 6;$

е) $(3x - 1)x - (6 - x)(x + 6) < 37.$

а) $(2x + 1)(x + 4) - 3x(x + 2) < 0$

Раскроем скобки в левой части неравенства и приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 + 8x + x + 4) - (3x^2 + 6x) < 0$
$2x^2 + 9x + 4 - 3x^2 - 6x < 0$
$-x^2 + 3x + 4 < 0$
Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 3x - 4 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $y > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4; \infty)$.

б) $(3x - 2)^2 - 4x(2x - 3) > 0$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и распределительный закон:
$(9x^2 - 12x + 4) - (8x^2 - 12x) > 0$
$9x^2 - 12x + 4 - 8x^2 + 12x > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 4 > 0$
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного значения $x$ ($x^2 \geq 0$). Поэтому сумма $x^2 + 4$ всегда будет больше или равна 4, а значит, всегда строго больше 0. Таким образом, неравенство выполняется для любого $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; \infty)$.

в) $(1 - 6x)(1 + 6x) + 7x(5x - 2) > 14$

Применим формулу разности квадратов и раскроем скобки:
$(1 - 36x^2) + (35x^2 - 14x) > 14$
$1 - 36x^2 + 35x^2 - 14x > 14$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:
$-x^2 - 14x + 1 - 14 > 0$
$-x^2 - 14x - 13 > 0$
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$x^2 + 14x + 13 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 14x + 13 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -13$.
Ветви параболы $y = x^2 + 14x + 13$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(-13; -1)$.

г) $(5x + 2)(x - 1) - (2x + 1)(2x - 1) < 27$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов и формулу разности квадратов:
$(5x^2 - 5x + 2x - 2) - (4x^2 - 1) < 27$
$5x^2 - 3x - 2 - 4x^2 + 1 < 27$
Приведем подобные слагаемые и перенесем константу в левую часть:
$x^2 - 3x - 1 < 27$
$x^2 - 3x - 28 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 28 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -4$.
Ветви параболы $y = x^2 - 3x - 28$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(-4; 7)$.

д) $(2x - 1)(1 + 2x) - x(x + 4) < 6$

Используем формулу разности квадратов и раскроем скобки:
$(4x^2 - 1) - (x^2 + 4x) < 6$
$4x^2 - 1 - x^2 - 4x < 6$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 - 4x - 1 - 6 < 0$
$3x^2 - 4x - 7 < 0$
Решим уравнение $3x^2 - 4x - 7 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2$
$x_1 = \frac{4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$
$x_2 = \frac{4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
Ветви параболы $y = 3x^2 - 4x - 7$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(-1; \frac{7}{3})$.

е) $(3x - 1)x - (6 - x)(x + 6) < 37$

Раскроем скобки. Второе произведение является разностью квадратов $(6-x)(6+x) = 36-x^2$:
$3x^2 - x - (36 - x^2) < 37$
$3x^2 - x - 36 + x^2 < 37$
Приведем подобные слагаемые и перенесем константу влево:
$4x^2 - x - 36 - 37 < 0$
$4x^2 - x - 73 < 0$
Решим уравнение $4x^2 - x - 73 = 0$ через дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-73) = 1 + 1168 = 1169$
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1169}}{8}$.
Ветви параболы $y = 4x^2 - x - 73$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(\frac{1 - \sqrt{1169}}{8}; \frac{1 + \sqrt{1169}}{8})$.