Номер 1000, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1000. Пользуясь тем, что $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ и $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$, оцените значение выражения:

а) $\sqrt{7} + \sqrt{5}$;

б) $\sqrt{7} - \sqrt{5}$;

в) $\sqrt{35}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами числовых неравенств. Нам даны следующие оценки:
$ 2,6 < \sqrt{7} < 2,7 $
$ 2,2 < \sqrt{5} < 2,3 $

а) Чтобы оценить значение суммы $ \sqrt{7} + \sqrt{5} $, сложим почленно данные неравенства. Согласно свойству сложения неравенств, если $a < x < b$ и $c < y < d$, то $a+c < x+y < b+d$.
Сложим левые и правые части исходных неравенств:
$ 2,6 + 2,2 < \sqrt{7} + \sqrt{5} < 2,7 + 2,3 $
Выполнив сложение, получаем:
$ 4,8 < \sqrt{7} + \sqrt{5} < 5,0 $
Ответ: $ 4,8 < \sqrt{7} + \sqrt{5} < 5,0 $.

б) Чтобы оценить значение разности $ \sqrt{7} - \sqrt{5} $, воспользуемся свойством вычитания неравенств. Если $a < x < b$ и $c < y < d$, то $a-d < x-y < b-c$.
Для этого из неравенства для $ \sqrt{7} $ вычтем неравенство для $ \sqrt{5} $. Левая граница разности будет равна разности левой границы первого неравенства и правой границы второго, а правая граница — разности правой границы первого и левой границы второго.
$ 2,6 - 2,3 < \sqrt{7} - \sqrt{5} < 2,7 - 2,2 $
Выполнив вычитание, получаем:
$ 0,3 < \sqrt{7} - \sqrt{5} < 0,5 $
Ответ: $ 0,3 < \sqrt{7} - \sqrt{5} < 0,5 $.

в) Чтобы оценить значение выражения $ \sqrt{35} $, представим его как произведение $ \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} $.
Поскольку все части исходных неравенств являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить. Согласно свойству умножения неравенств, если $0 < a < x < b$ и $0 < c < y < d$, то $ac < xy < bd$.
Перемножим левые и правые части исходных неравенств:
$ 2,6 \cdot 2,2 < \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} < 2,7 \cdot 2,3 $
Вычислим произведения:
$ 2,6 \cdot 2,2 = 5,72 $
$ 2,7 \cdot 2,3 = 6,21 $
Подставив результаты в неравенство, получаем:
$ 5,72 < \sqrt{35} < 6,21 $
Ответ: $ 5,72 < \sqrt{35} < 6,21 $.