Номер 994, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

994. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии $(b_n)$, в которой $b_6 = \frac{1}{2}$ и $q = \frac{1}{2}$.

Для того чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии ($S_6$), мы можем использовать формулу суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — число членов, сумму которых мы ищем.

В условии задачи нам даны шестой член прогрессии $b_6 = \frac{1}{2}$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Нам нужно найти сумму первых шести членов, то есть $n=6$.

Чтобы применить формулу для $S_6$, нам сначала нужно найти первый член прогрессии, $b_1$. Мы можем сделать это, используя формулу для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим в эту формулу известные нам значения для шестого члена ($n=6$): $b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$ $b_6 = b_1 \cdot q^5$

Теперь подставим числовые значения $b_6 = \frac{1}{2}$ и $q = \frac{1}{2}$ в полученное уравнение: $\frac{1}{2} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5$ $\frac{1}{2} = b_1 \cdot \frac{1}{32}$

Отсюда мы можем выразить и вычислить $b_1$: $b_1 = \frac{1}{2} \div \frac{1}{32} = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16$

Теперь у нас есть все необходимые значения для расчета суммы $S_6$: $b_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$ и $n=6$. Подставим их в формулу суммы: $S_6 = \frac{b_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{16 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6\right)}{1 - \frac{1}{2}}$

Проведем вычисления поэтапно: Сначала вычислим $q^6$: $\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$

Теперь вычислим числитель и знаменатель основной дроби: Числитель: $16 \cdot \left(1 - \frac{1}{64}\right) = 16 \cdot \left(\frac{64}{64} - \frac{1}{64}\right) = 16 \cdot \frac{63}{64} = \frac{16 \cdot 63}{64} = \frac{63}{4}$ Знаменатель: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем значение $S_6$: $S_6 = \frac{\frac{63}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{63}{4} \cdot 2 = \frac{63 \cdot 2}{4} = \frac{63}{2} = 31,5$

Ответ: $31,5$