Номер 996, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

996. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если известно, что все члены последовательности положительны и $b_3 = 20$, $b_5 = 80$.

Для нахождения суммы первых семи членов геометрической прогрессии $S_7$ необходимо определить её первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Из этой формулы следует, что любой член прогрессии можно выразить через другой: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$. Применим это соотношение для известных нам членов $b_5$ и $b_3$: $b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$

Подставим в формулу данные из условия задачи ($b_3 = 20$, $b_5 = 80$): $80 = 20 \cdot q^2$

Решим уравнение относительно $q$: $q^2 = \frac{80}{20} = 4$ $q = 2$ или $q = -2$

Так как по условию все члены последовательности положительны, это означает, что знаменатель прогрессии $q$ также должен быть положительным (иначе знаки членов прогрессии будут чередоваться). Поэтому выбираем $q = 2$.

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$, используя формулу для $b_3$: $b_3 = b_1 \cdot q^2$ $20 = b_1 \cdot 2^2$ $20 = b_1 \cdot 4$ $b_1 = \frac{20}{4} = 5$

Зная первый член $b_1 = 5$ и знаменатель $q = 2$, мы можем вычислить сумму первых семи членов прогрессии по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим $n=7$: $S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1} = \frac{5(2^7 - 1)}{2 - 1} = \frac{5(128 - 1)}{1} = 5 \cdot 127 = 635$

Ответ: 635.