Номер 990, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

990. В арифметической прогрессии $(a_n)$ сумма пятого и десятого членов равна -9, а сумма четвёртого и шестого членов равна -4. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Пусть ($a_n$) - заданная арифметическая прогрессия, где $a_1$ - ее первый член, а $d$ - ее разность.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи, сумма пятого и десятого членов равна -9. Запишем это в виде уравнения:
$a_5 + a_{10} = -9$
Выразим $a_5$ и $a_{10}$ через $a_1$ и $d$:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 4d) + (a_1 + 9d) = -9$
$2a_1 + 13d = -9$

Также по условию, сумма четвёртого и шестого членов равна -4. Запишем второе уравнение:
$a_4 + a_6 = -4$
Выразим $a_4$ и $a_6$ через $a_1$ и $d$:
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = -4$
$2a_1 + 8d = -4$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} 2a_1 + 13d = -9 \\ 2a_1 + 8d = -4 \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $d$:
$(2a_1 + 13d) - (2a_1 + 8d) = -9 - (-4)$
$5d = -5$
$d = -1$
Подставим найденное значение $d$ в любое из уравнений системы, например, во второе, чтобы найти $a_1$:
$2a_1 + 8(-1) = -4$
$2a_1 - 8 = -4$
$2a_1 = 4$
$a_1 = 2$

Мы нашли первый член прогрессии $a_1=2$ и ее разность $d=-1$. Теперь необходимо найти сумму первых десяти членов этой прогрессии, $S_{10}$.
Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения $a_1=2$, $d=-1$ и $n=10$:
$S_{10} = \frac{2 \cdot 2 + (10-1)(-1)}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{4 + 9(-1)}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{4 - 9}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{-5}{2} \cdot 10$
$S_{10} = -5 \cdot 5$
$S_{10} = -25$

Ответ: -25