Номер 983, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

983. Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую работу за 10 дней. После 7 дней совместной работы один из них был переведён на другой участок, а второй закончил работу, проработав ещё 9 дней. За сколько дней каждый рабочий мог выполнить всю работу?

Примем весь объем работы за 1 (единицу).

Пусть первый рабочий может выполнить всю работу за $x$ дней, а второй — за $y$ дней. Тогда производительность труда (часть работы, выполняемая за один день) первого рабочего составляет $\frac{1}{x}$, а второго — $\frac{1}{y}$.

Из условия, что двое рабочих вместе могут выполнить работу за 10 дней, следует, что их совместная производительность равна $\frac{1}{10}$ работы в день. Составим первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10}$

За 7 дней совместной работы рабочие выполнили часть работы, равную:

$7 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 7 \times \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$

После этого осталась невыполненной следующая часть работы:

$1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$

Эту оставшуюся часть работы один из рабочих (допустим, второй) закончил, проработав еще 9 дней. Это позволяет составить второе уравнение, связывающее производительность второго рабочего и выполненную им работу:

$\frac{1}{y} \times 9 = \frac{3}{10}$

Теперь решим полученную систему уравнений. Из второго уравнения найдем $y$:

$\frac{9}{y} = \frac{3}{10}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$3y = 9 \times 10$

$3y = 90$

$y = 30$

Таким образом, второй рабочий, работая один, может выполнить всю работу за 30 дней.

Теперь подставим найденное значение $y=30$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}$

Выразим $\frac{1}{x}$:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 30:

$\frac{1}{x} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30}$

$\frac{1}{x} = \frac{2}{30}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{15}$

$x = 15$

Следовательно, первый рабочий, работая один, может выполнить всю работу за 15 дней.

Ответ: Один рабочий мог выполнить всю работу за 15 дней, а другой — за 30 дней.