Номер 979, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

979. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь увеличится на $\frac{1}{6}$. Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь уменьшится на $\frac{1}{10}$. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ - числитель, а $y$ - знаменатель.

Согласно первому условию задачи, если от числителя и знаменателя отнять по единице, то дробь увеличится на $\frac{1}{6}$. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{x-1}{y-1} = \frac{x}{y} + \frac{1}{6}$

Преобразуем это уравнение, чтобы выразить разность $x-y$. Для этого перенесем $\frac{x}{y}$ в левую часть:

$\frac{x-1}{y-1} - \frac{x}{y} = \frac{1}{6}$
$\frac{y(x-1) - x(y-1)}{y(y-1)} = \frac{1}{6}$
$\frac{xy - y - xy + x}{y(y-1)} = \frac{1}{6}$
$\frac{x-y}{y(y-1)} = \frac{1}{6}$ (1)

Согласно второму условию, если к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь уменьшится на $\frac{1}{10}$. Запишем это в виде второго уравнения:

$\frac{x+1}{y+1} = \frac{x}{y} - \frac{1}{10}$

Аналогично преобразуем второе уравнение:

$\frac{x}{y} - \frac{x+1}{y+1} = \frac{1}{10}$
$\frac{x(y+1) - y(x+1)}{y(y+1)} = \frac{1}{10}$
$\frac{xy + x - xy - y}{y(y+1)} = \frac{1}{10}$
$\frac{x-y}{y(y+1)} = \frac{1}{10}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Из уравнения (1) выразим $x-y$: $x-y = \frac{y(y-1)}{6}$.

Из уравнения (2) также выразим $x-y$: $x-y = \frac{y(y+1)}{10}$.

Теперь приравняем правые части полученных выражений, так как их левые части равны:

$\frac{y(y-1)}{6} = \frac{y(y+1)}{10}$

Поскольку $y$ является знаменателем дроби, $y \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $y$:

$\frac{y-1}{6} = \frac{y+1}{10}$

Для решения этого линейного уравнения умножим обе его части на 30 (наименьшее общее кратное чисел 6 и 10):

$5(y-1) = 3(y+1)$
$5y - 5 = 3y + 3$
$5y - 3y = 3 + 5$
$2y = 8$
$y = 4$

Теперь, зная значение $y$, мы можем найти $x$. Подставим $y=4$ в одно из выражений для $x-y$, например, в $x-y = \frac{y(y-1)}{6}$:

$x-4 = \frac{4(4-1)}{6} = \frac{4 \cdot 3}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x - 4 = 2$
$x = 6$

Следовательно, искомая дробь равна $\frac{6}{4}$.

Проверка:
Исходная дробь: $\frac{6}{4}$.
1. Отнимем 1 от числителя и знаменателя: $\frac{6-1}{4-1} = \frac{5}{3}$.
Разница с исходной дробью: $\frac{5}{3} - \frac{6}{4} = \frac{20 - 18}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$. Условие выполнено.
2. Прибавим 1 к числителю и знаменателю: $\frac{6+1}{4+1} = \frac{7}{5}$.
Разница с исходной дробью: $\frac{6}{4} - \frac{7}{5} = \frac{30 - 28}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$. Условие выполнено.

Ответ: $\frac{6}{4}$