Номер 972, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

972. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} y + x^2 = 5x, \\ 2y + 5 = x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ 2x^2 + y = 6; \end{cases}$

в) $\begin{cases} xy = 1, \\ x^2 + y^2 = 9; \end{cases}$

г) $\begin{cases} xy = -2, \\ y + 8 = \frac{1}{2}x^2. \end{cases}$

а)

Для решения системы графическим методом построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение: $y + x^2 = 5x$. Выразим $y$: $y = -x^2 + 5x$ Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = 2.5$ $y_в = -(2.5)^2 + 5(2.5) = -6.25 + 12.5 = 6.25$ Вершина находится в точке $(2.5, 6.25)$. Найдем точки пересечения с осью Ox (где $y=0$): $-x^2 + 5x = 0 \implies -x(x-5) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 5$. Точки: $(0, 0)$ и $(5, 0)$.

Второе уравнение: $2y + 5 = x$. Выразим $y$: $2y = x - 5 \implies y = \frac{1}{2}x - 2.5$ Это уравнение прямой. Для ее построения достаточно двух точек: - если $x = 1$, то $y = \frac{1}{2}(1) - 2.5 = -2$. Точка $(1, -2)$. - если $x = 5$, то $y = \frac{1}{2}(5) - 2.5 = 2.5 - 2.5 = 0$. Точка $(5, 0)$.

Построим графики параболы $y = -x^2 + 5x$ и прямой $y = \frac{1}{2}x - 2.5$ на одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков являются решениями системы. Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках.

Координаты точек пересечения: $(5, 0)$ и $(-0.5, -2.75)$.

Ответ: $(5, 0)$, $(-0.5, -2.75)$.

б)

Построим графики каждого уравнения системы.

Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 25$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение: $2x^2 + y = 6$. Выразим $y$: $y = -2x^2 + 6$ Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины: $x_в = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$ $y_в = -2(0)^2 + 6 = 6$ Вершина находится в точке $(0, 6)$. Для построения найдем еще несколько точек: - если $x = \pm 1$, то $y = -2(1)^2 + 6 = 4$. Точки $(1, 4)$ и $(-1, 4)$. - если $x = \pm 2$, то $y = -2(2)^2 + 6 = -2$. Точки $(2, -2)$ и $(-2, -2)$.

Построим графики окружности и параболы. Из-за симметрии обоих графиков относительно оси Oy, точки пересечения также будут симметричны. Графики пересекаются в четырех точках. Поскольку точки пересечения не имеют целочисленных координат, мы можем найти их лишь приблизительно.

Приблизительные координаты точек пересечения: $(\approx 0.7, \approx 4.9)$, $(\approx -0.7, \approx 4.9)$, $(\approx 2.3, \approx -4.4)$ и $(\approx -2.3, \approx -4.4)$.

Ответ: $(\approx 0.7, \approx 4.9)$, $(\approx -0.7, \approx 4.9)$, $(\approx 2.3, \approx -4.4)$, $(\approx -2.3, \approx -4.4)$.

в)

Построим графики каждого уравнения системы.

Первое уравнение: $xy = 1$. Выразим $y$: $y = \frac{1}{x}$ Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. Точки для построения: $(1, 1)$, $(2, 0.5)$, $(0.5, 2)$, $(-1, -1)$, $(-2, -0.5)$.

Второе уравнение: $x^2 + y^2 = 9$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Построим графики гиперболы и окружности. Графики пересекаются в четырех точках, симметричных относительно начала координат. Найдем их координаты приблизительно по графику.

Приблизительные координаты точек пересечения: $(\approx 0.3, \approx 3.0)$, $(\approx 3.0, \approx 0.3)$, $(\approx -0.3, \approx -3.0)$, $(\approx -3.0, \approx -0.3)$.

Ответ: $(\approx 0.3, \approx 3.0)$, $(\approx 3.0, \approx 0.3)$, $(\approx -0.3, \approx -3.0)$, $(\approx -3.0, \approx -0.3)$.

г)

Построим графики каждого уравнения системы.

Первое уравнение: $xy = -2$. Выразим $y$: $y = -\frac{2}{x}$ Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. Точки для построения: $(-1, 2)$, $(-2, 1)$, $(1, -2)$, $(2, -1)$.

Второе уравнение: $y + 8 = \frac{1}{2}x^2$. Выразим $y$: $y = \frac{1}{2}x^2 - 8$ Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина находится в точке $(0, -8)$. Точки для построения: - если $x = \pm 2$, то $y = \frac{1}{2}(4) - 8 = -6$. Точки $(2, -6)$ и $(-2, -6)$. - если $x = \pm 4$, то $y = \frac{1}{2}(16) - 8 = 0$. Точки $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.

Построим графики гиперболы и параболы. Из графика видно, что они пересекаются в трех точках. Координаты этих точек можно определить лишь приблизительно.

Приблизительные координаты точек пересечения: $(\approx -4.1, \approx 0.5)$, $(\approx 0.25, \approx -8)$, $(\approx 3.9, \approx -0.5)$.

Ответ: $(\approx -4.1, \approx 0.5)$, $(\approx 0.25, \approx -8)$, $(\approx 3.9, \approx -0.5)$.