Номер 970, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

970. Имеются два сплава серебра с медью. Первый содержит $67\%$ меди, а второй — $87\%$ меди. В каком соотношении нужно взять эти два сплава, чтобы получить сплав, содержащий $79\%$ меди?

Для решения этой задачи необходимо определить, в какой пропорции нужно смешать два сплава, чтобы получить третий сплав с заданной концентрацией меди. Обозначим массу первого сплава как $m_1$, а массу второго сплава как $m_2$.

В первом сплаве содержится 67% меди. Это означает, что масса меди в этом сплаве составляет $0.67 \cdot m_1$.

Во втором сплаве содержится 87% меди. Соответственно, масса меди в этом сплаве составляет $0.87 \cdot m_2$.

При смешивании этих двух сплавов общая масса полученного нового сплава будет равна сумме масс исходных сплавов: $m_1 + m_2$.

Общая масса меди в новом сплаве будет равна сумме масс меди из первого и второго сплавов: $0.67 \cdot m_1 + 0.87 \cdot m_2$.

По условию задачи, в итоговом сплаве должно содержаться 79% меди. Это значит, что масса меди в новом сплаве также может быть выражена как $0.79 \cdot (m_1 + m_2)$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для массы меди в конечном сплаве:

$0.67 \cdot m_1 + 0.87 \cdot m_2 = 0.79 \cdot (m_1 + m_2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$0.67 m_1 + 0.87 m_2 = 0.79 m_1 + 0.79 m_2$

Теперь сгруппируем слагаемые с $m_1$ на одной стороне уравнения, а слагаемые с $m_2$ — на другой. Для этого перенесем $0.67 m_1$ в правую часть, а $0.79 m_2$ — в левую:

$0.87 m_2 - 0.79 m_2 = 0.79 m_1 - 0.67 m_1$

Выполним вычитание:

$0.08 m_2 = 0.12 m_1$

Задача состоит в том, чтобы найти соотношение, в котором нужно взять сплавы, то есть найти отношение масс $\frac{m_1}{m_2}$. Выразим это отношение из полученного равенства:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{0.08}{0.12}$

Для упрощения дроби можно умножить числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных знаков:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{8}{12}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$

Таким образом, отношение массы первого сплава к массе второго сплава должно быть 2 к 3.

Ответ: сплавы нужно взять в соотношении 2:3.