Номер 967, страница 232 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

967. Легковой автомобиль проехал за 2 ч на 10 км больше, чем грузовой за 3 ч. Если уменьшить скорость легкового автомобиля на 25%, а грузового на 20%, то грузовой автомобиль проедет за 5 ч на 20 км больше, чем легковой за 3 ч. Найдите скорость каждого автомобиля.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_л$ — первоначальная скорость легкового автомобиля в км/ч, а $v_г$ — первоначальная скорость грузового автомобиля в км/ч.

Согласно первому условию, легковой автомобиль за 2 часа проехал на 10 км больше, чем грузовой за 3 часа. Расстояние, которое проехал легковой автомобиль, составляет $2 \cdot v_л$ км, а грузовой — $3 \cdot v_г$ км. Можем составить первое уравнение:
$2v_л = 3v_г + 10$

Далее, по второму условию, скорость легкового автомобиля уменьшили на 25%. Его новая скорость стала равна $v_л - 0.25v_л = 0.75v_л$ км/ч. Скорость грузового автомобиля уменьшили на 20%, и его новая скорость стала равна $v_г - 0.20v_г = 0.8v_г$ км/ч.

С измененными скоростями грузовой автомобиль за 5 часов проехал на 20 км больше, чем легковой за 3 часа. Расстояние, пройденное грузовым автомобилем, равно $5 \cdot (0.8v_г) = 4v_г$ км, а легковым — $3 \cdot (0.75v_л) = 2.25v_л$ км. Составим второе уравнение:
$4v_г = 2.25v_л + 20$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 2v_л = 3v_г + 10 \\ 4v_г = 2.25v_л + 20 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $v_л$:
$v_л = \frac{3v_г + 10}{2} = 1.5v_г + 5$
Теперь подставим это выражение для $v_л$ во второе уравнение:
$4v_г = 2.25(1.5v_г + 5) + 20$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$4v_г = 3.375v_г + 11.25 + 20$
$4v_г = 3.375v_г + 31.25$
$4v_г - 3.375v_г = 31.25$
$0.625v_г = 31.25$
$v_г = \frac{31.25}{0.625} = 50$
Таким образом, первоначальная скорость грузового автомобиля равна 50 км/ч.

Теперь найдем первоначальную скорость легкового автомобиля, используя выражение для $v_л$:
$v_л = 1.5v_г + 5 = 1.5 \cdot 50 + 5 = 75 + 5 = 80$
Первоначальная скорость легкового автомобиля равна 80 км/ч.

Ответ: скорость легкового автомобиля — 80 км/ч, скорость грузового автомобиля — 50 км/ч.