Номер 973, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

973. Решите систему уравнений способом подстановки:

a) $\begin{cases} x^2 + y + 8 = xy, \\ y - 2x = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 16, \\ x + y = 8; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 - xy + y^2 = 13; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = 1, \\ 3y + x = 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3y = -12, \\ 2y - 7x = 8; \end{cases}$

е) $\begin{cases} y^2 - 6x + y = 0, \\ 2x - \frac{1}{2}y = 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y + 8 = xy, \\ y - 2x = 0; \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 2x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + (2x) + 8 = x(2x)$

$x^2 + 2x + 8 = 2x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - x^2 - 2x - 8 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 2, а произведение равно -8. Корнями являются:

$x_1 = 4$

$x_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя уравнение $y = 2x$:

При $x_1 = 4$, $y_1 = 2 \cdot 4 = 8$.

При $x_2 = -2$, $y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4, 8), (-2, -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 16, \\ x + y = 8; \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 8 - y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(8 - y)^2 - y^2 = 16$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(64 - 16y + y^2) - y^2 = 16$

$64 - 16y = 16$

Решим полученное линейное уравнение относительно $y$:

$64 - 16 = 16y$

$48 = 16y$

$y = \frac{48}{16} = 3$

Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив $y = 3$ в выражение $x = 8 - y$:

$x = 8 - 3 = 5$

Система имеет одно решение.

Ответ: $(5, 3)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 - xy + y^2 = 13; \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 5 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 - x(5 - x) + (5 - x)^2 = 13$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 5x + x^2 + (25 - 10x + x^2) = 13$

$3x^2 - 15x + 25 = 13$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$3x^2 - 15x + 12 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней 5, произведение 4. Корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 4$

Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = 5 - x$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 5 - 1 = 4$.

При $x_2 = 4$, $y_2 = 5 - 4 = 1$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(1, 4), (4, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = 1, \\ 3y + x = 0; \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = -3y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(-3y)^2 + y^2 + 3(-3y)y = 1$

$9y^2 + y^2 - 9y^2 = 1$

$y^2 = 1$

Отсюда получаем два значения для $y$:

$y_1 = 1$, $y_2 = -1$

Найдем соответствующие значения $x$, используя $x = -3y$:

При $y_1 = 1$, $x_1 = -3 \cdot 1 = -3$.

При $y_2 = -1$, $x_2 = -3 \cdot (-1) = 3$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(-3, 1), (3, -1)$.

д)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3y = -12, \\ 2y - 7x = 8; \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$2y = 7x + 8$

$y = \frac{7x + 8}{2}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x^2 + 5x - 3\left(\frac{7x + 8}{2}\right) = -12$

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$4x^2 + 10x - 3(7x + 8) = -24$

$4x^2 + 10x - 21x - 24 = -24$

$4x^2 - 11x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(4x - 11) = 0$

Отсюда получаем два значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $4x - 11 = 0 \implies x_2 = \frac{11}{4}$

Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = \frac{7x + 8}{2}$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = \frac{7(0) + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

При $x_2 = \frac{11}{4}$, $y_2 = \frac{7(\frac{11}{4}) + 8}{2} = \frac{\frac{77}{4} + \frac{32}{4}}{2} = \frac{\frac{109}{4}}{2} = \frac{109}{8}$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(0, 4), (\frac{11}{4}, \frac{109}{8})$.

е)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y^2 - 6x + y = 0, \\ 2x - \frac{1}{2}y = 1. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$2x = 1 + \frac{1}{2}y$

$x = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$y^2 - 6\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}y\right) + y = 0$

$y^2 - 3 - \frac{6}{4}y + y = 0$

$y^2 - 3 - \frac{3}{2}y + y = 0$

$y^2 - \frac{1}{2}y - 3 = 0$

Умножим все уравнение на 2:

$2y^2 - y - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49$

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4}$

$y_1 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Найдем соответствующие значения $x$, используя $x = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}y$:

При $y_1 = 2$, $x_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}(2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

При $y_2 = -\frac{3}{2}$, $x_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(1, 2), (\frac{1}{8}, -\frac{3}{2})$.