Номер 980, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

980. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь уменьшится на $ \frac{1}{10} $. Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на $ \frac{1}{15} $. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь — это $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель ($y \neq 0$).

1. Составление системы уравнений

Исходя из первого условия задачи, если от числителя и знаменателя отнять по единице, то дробь уменьшится на $\frac{1}{10}$. Математически это выражается так: $$ \frac{x}{y} - \frac{x-1}{y-1} = \frac{1}{10} $$ Приведем левую часть к общему знаменателю $y(y-1)$: $$ \frac{x(y-1) - y(x-1)}{y(y-1)} = \frac{1}{10} $$ $$ \frac{xy - x - xy + y}{y(y-1)} = \frac{1}{10} $$ $$ \frac{y-x}{y(y-1)} = \frac{1}{10} $$ Отсюда получаем первое уравнение: $10(y-x) = y(y-1)$.

Исходя из второго условия, если к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на $\frac{1}{15}$. Это дает нам второе уравнение: $$ \frac{x+1}{y+1} - \frac{x}{y} = \frac{1}{15} $$ Приведем левую часть к общему знаменателю $y(y+1)$: $$ \frac{y(x+1) - x(y+1)}{y(y+1)} = \frac{1}{15} $$ $$ \frac{xy + y - xy - x}{y(y+1)} = \frac{1}{15} $$ $$ \frac{y-x}{y(y+1)} = \frac{1}{15} $$ Отсюда получаем второе уравнение: $15(y-x) = y(y+1)$.

2. Решение системы уравнений

Мы получили следующую систему уравнений: $$ \begin{cases} 10(y-x) = y^2 - y \\ 15(y-x) = y^2 + y \end{cases} $$ Выразим из каждого уравнения разность $(y-x)$: $$ y-x = \frac{y^2-y}{10} $$ $$ y-x = \frac{y^2+y}{15} $$ Теперь приравняем правые части этих выражений: $$ \frac{y^2-y}{10} = \frac{y^2+y}{15} $$ Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 30 (наименьшее общее кратное 10 и 15): $$ 3(y^2-y) = 2(y^2+y) $$ $$ 3y^2 - 3y = 2y^2 + 2y $$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$ 3y^2 - 2y^2 - 3y - 2y = 0 $$ $$ y^2 - 5y = 0 $$ Вынесем общий множитель $y$ за скобки: $$ y(y-5) = 0 $$ Это уравнение имеет два решения: $y=0$ или $y=5$. Поскольку $y$ — это знаменатель дроби, он не может быть равен нулю. Следовательно, единственное возможное значение — $y=5$.

Найдем $x$, подставив $y=5$ в одно из уравнений, например, в $10(y-x) = y^2-y$: $$ 10(5-x) = 5^2-5 $$ $$ 10(5-x) = 25-5 $$ $$ 10(5-x) = 20 $$ $$ 5-x = 2 $$ $$ x = 5-2 = 3 $$ Таким образом, искомая дробь — это $\frac{3}{5}$.

3. Проверка

Проверим, удовлетворяет ли найденная дробь $\frac{3}{5}$ условиям задачи.
1) Отнимем 1 от числителя и знаменателя: $\frac{3-1}{5-1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Уменьшение составляет: $\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6-5}{10} = \frac{1}{10}$. Условие выполнено.
2) Прибавим 1 к числителю и знаменателю: $\frac{3+1}{5+1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Увеличение составляет: $\frac{2}{3} - \frac{3}{5} = \frac{10-9}{15} = \frac{1}{15}$. Условие выполнено.

Ответ: $\frac{3}{5}$