Номер 977, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

977. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли парабола $y = x^2 - x + 4$ и гипербола $y = \frac{4}{x}$. Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

Выяснение, пересекаются ли графики

Чтобы определить, пересекаются ли графики параболы $y = x^2 - x + 4$ и гиперболы $y = \frac{4}{x}$, необходимо найти общие точки этих двух кривых. Координаты общих точек должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Поэтому приравняем выражения для $y$:

$x^2 - x + 4 = \frac{4}{x}$

Данное уравнение определено для всех $x$, кроме $x = 0$, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю. Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на $x$:

$x(x^2 - x + 4) = 4$

$x^3 - x^2 + 4x = 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение стандартного вида:

$x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся методом группировки слагаемых:

$(x^3 - x^2) + (4x - 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 1) + 4(x - 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - 1 = 0$, откуда получаем $x = 1$.

2) $x^2 + 4 = 0$, откуда $x^2 = -4$. Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Таким образом, мы нашли единственный действительный корень $x = 1$. Это означает, что графики данных функций имеют одну общую точку, то есть пересекаются.

Ответ: Да, графики пересекаются.

Нахождение координат точек пересечения

Мы установили, что абсцисса точки пересечения равна $x = 1$. Чтобы найти ординату $y$ этой точки, подставим найденное значение $x$ в уравнение любой из функций. Проще всего использовать уравнение гиперболы:

$y = \frac{4}{x} = \frac{4}{1} = 4$

Для уверенности выполним проверку, подставив $x = 1$ в уравнение параболы:

$y = x^2 - x + 4 = 1^2 - 1 + 4 = 1 - 1 + 4 = 4$

Оба уравнения дают одинаковый результат, значит, координаты точки пересечения найдены верно.

Ответ: Координаты точки пересечения $(1, 4)$.

Иллюстрация решения с помощью графиков

Для наглядной иллюстрации решения построим графики параболы $y = x^2 - x + 4$ и гиперболы $y = \frac{4}{x}$ в одной системе координат.

• Парабола $y = x^2 - x + 4$ — это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0.5$. Ордината вершины $y_v = (0.5)^2 - 0.5 + 4 = 0.25 - 0.5 + 4 = 3.75$. Таким образом, вершина находится в точке $(0.5, 3.75)$.
• Гипербола $y = \frac{4}{x}$ — это обратная пропорциональность, ее график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

На графике ниже синим цветом изображена парабола, а красным — гипербола. Черной точкой отмечено их пересечение.