Номер 981, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

981. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см². Найдите катеты этого треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию задачи дано:
Гипотенуза $c = 41$ см.
Площадь треугольника $S = 180$ см².

Для решения задачи используем теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$), и формулу площади прямоугольного треугольника, которая равна половине произведения его катетов ($S = \frac{1}{2}ab$).

Составим систему уравнений, подставив в формулы известные значения:
1. $a^2 + b^2 = 41^2$
2. $\frac{1}{2}ab = 180$

Упростим эту систему:
1. $a^2 + b^2 = 1681$
2. $ab = 180 \cdot 2 \implies ab = 360$

Таким образом, нам нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 1681 \\ ab = 360 \end{cases} $

Для решения системы удобно использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Мы можем переписать ее как $(a+b)^2 = (a^2+b^2) + 2ab$.
Подставим известные нам значения из системы:
$(a+b)^2 = 1681 + 2 \cdot 360$
$(a+b)^2 = 1681 + 720$
$(a+b)^2 = 2401$

Извлечем квадратный корень. Поскольку $a$ и $b$ — это длины сторон, их сумма должна быть положительной.
$a+b = \sqrt{2401} = 49$.

Теперь у нас есть новая, более простая система, в которой известны сумма и произведение катетов:
$ \begin{cases} a+b = 49 \\ ab = 360 \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.
Подставив значения суммы и произведения, получим уравнение:
$t^2 - 49t + 360 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 2401 - 1440 = 961$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

Найдем корни уравнения, которые и будут длинами искомых катетов:
$t_1 = \frac{-(-49) + 31}{2 \cdot 1} = \frac{49 + 31}{2} = \frac{80}{2} = 40$
$t_2 = \frac{-(-49) - 31}{2 \cdot 1} = \frac{49 - 31}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Таким образом, катеты треугольника равны 9 см и 40 см.
Проверим полученный результат.
Сумма квадратов катетов: $9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$.
Квадрат гипотенузы: $41^2 = 1681$.
Равенство $a^2+b^2=c^2$ выполняется.
Площадь: $\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = \frac{360}{2} = 180$ см².
Все условия задачи выполнены.

Ответ: катеты треугольника равны 9 см и 40 см.