Номер 975, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

975. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли:

а) парабола $y = x^2 - 6x + 8$ и прямая $x + y = 4$;

б) прямая $x + y = 4$ и гипербола $y = \frac{3}{x}$;

в) окружности $x^2 + y^2 = 4$ и $(x - 3)^2 + y^2 = 1$;

г) окружность $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$ и прямая $x + 2y = 3$.

Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

а) парабола $y = x^2 - 6x + 8$ и прямая $x + y = 4$

Чтобы определить, пересекаются ли парабола и прямая, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 - 6x + 8 \\ x + y = 4 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим y: $y = 4 - x$.

Подставим это выражение в уравнение параболы:

$4 - x = x^2 - 6x + 8$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + x + 8 - 4 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Найдем дискриминант $D$ данного квадратного уравнения ($a=1, b=-5, c=4$):

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Найдем абсциссы (координаты x) точек пересечения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$

Теперь найдем соответствующие ординаты (координаты y), подставив значения x в уравнение прямой $y = 4 - x$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 4 - 1 = 3$.

При $x_2 = 4$, $y_2 = 4 - 4 = 0$.

Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(4, 0)$.

Иллюстрация решения на графике:

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(4, 0)$.

б) прямая $x + y = 4$ и гипербола $y = \frac{3}{x}$

Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{3}{x} \\ x + y = 4 \end{cases} $

Из второго уравнения $y = 4 - x$. Подставим в первое уравнение (при условии, что $x \neq 0$):

$4 - x = \frac{3}{x}$

Умножим обе части на x:

$x(4 - x) = 3$

$4x - x^2 = 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, значит, прямая и гипербола пересекаются в двух точках.

Найдем абсциссы точек пересечения:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$

Найдем соответствующие ординаты из уравнения $y = 4 - x$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 4 - 1 = 3$.

При $x_2 = 3$, $y_2 = 4 - 3 = 1$.

Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Иллюстрация решения на графике:

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

в) окружности $x^2 + y^2 = 4$ и $(x - 3)^2 + y^2 = 1$

Проанализируем параметры данных окружностей.

Первая окружность $x^2 + y^2 = 4$ имеет центр в начале координат, в точке $C_1(0, 0)$, и радиус $r_1 = \sqrt{4} = 2$.

Вторая окружность $(x - 3)^2 + y^2 = 1$ имеет центр в точке $C_2(3, 0)$ и радиус $r_2 = \sqrt{1} = 1$.

Найдем расстояние d между центрами окружностей:

$d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$.

Сравним это расстояние с суммой и разностью радиусов:

Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 2 + 1 = 3$.

Разность радиусов: $|r_1 - r_2| = |2 - 1| = 1$.

Поскольку расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = r_1 + r_2$), окружности касаются друг друга внешним образом в одной точке.

Чтобы найти координаты точки касания, решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ (x - 3)^2 + y^2 = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения $y^2 = 4 - x^2$. Подставим во второе:

$(x - 3)^2 + (4 - x^2) = 1$

$x^2 - 6x + 9 + 4 - x^2 = 1$

$-6x + 13 = 1$

$-6x = -12$

$x = 2$

Подставим x в выражение для $y^2$: $y^2 = 4 - 2^2 = 0$, следовательно, $y = 0$.

Координаты точки касания: $(2, 0)$.

Иллюстрация решения на графике:

Ответ: Да, пересекаются (касаются) в одной точке. Координаты точки: $(2, 0)$.

г) окружность $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ и прямая $x + 2y = 3$

Решим систему уравнений для нахождения точек пересечения:

$ \begin{cases} (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \\ x + 2y = 3 \end{cases} $

Из уравнения прямой выразим x: $x = 3 - 2y$.

Подставим это в уравнение окружности:

$((3 - 2y) - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

$(2 - 2y)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Раскроем скобки:

$(4 - 8y + 4y^2) + (y^2 - 4y + 4) = 4$

Приведем подобные члены:

$5y^2 - 12y + 8 = 4$

$5y^2 - 12y + 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, следовательно, прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Найдем ординаты точек пересечения:

$y = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 \pm 8}{10}$

$y_1 = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$

$y_2 = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Найдем соответствующие абсциссы из $x = 3 - 2y$:

При $y_1 = 0.4$, $x_1 = 3 - 2(0.4) = 3 - 0.8 = 2.2$.

При $y_2 = 2$, $x_2 = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$.

Координаты точек пересечения: $(2.2, 0.4)$ и $(-1, 2)$.

Иллюстрация решения на графике:

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(-1, 2)$ и $(2.2, 0.4)$.