Номер 969, страница 232 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

969. Расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $160 \text{ км}$. Из $A$ в $B$ выехал велосипедист, и в то же время из $B$ в $A$ выехал мотоциклист. Их встреча произошла через $2 \text{ ч}$, а через $30 \text{ мин}$ после встречи велосипедисту осталось проехать в $11$ раз больше, чем мотоциклисту. Каковы скорости мотоциклиста и велосипедиста?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.
• Пусть $v_м$ — скорость мотоциклиста в км/ч.

Общее расстояние между пунктами А и В составляет $S = 160$ км.

1. Составление первого уравнения.

Велосипедист и мотоциклист движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_в + v_м$.

По условию, они встретились через $t_{встр} = 2$ часа. За это время они вместе преодолели все расстояние $S$. Используя формулу $S = v \times t$, получаем:

$160 = (v_в + v_м) \times 2$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму скоростей:

$v_в + v_м = 80$

Это первое уравнение нашей системы.

2. Анализ ситуации после встречи и составление второго уравнения.

До момента встречи велосипедист проехал расстояние $S_в = v_в \times 2 = 2v_в$ км. Это расстояние от пункта А до места встречи.

Мотоциклист до встречи проехал расстояние $S_м = v_м \times 2 = 2v_м$ км. Это расстояние от пункта В до места встречи.

После встречи велосипедисту осталось проехать до пункта В расстояние, равное тому, что проехал мотоциклист до встречи, то есть $2v_м$ км. Мотоциклисту же осталось проехать до пункта А расстояние, равное $2v_в$ км.

Рассмотрим движение через 30 минут ($0.5$ часа) после встречи.

За эти 0.5 часа велосипедист проехал дополнительно $0.5 \times v_в$ км. Расстояние, которое ему осталось проехать до пункта В, составляет:

$d_{в, ост} = 2v_м - 0.5v_в$

За те же 0.5 часа мотоциклист проехал $0.5 \times v_м$ км. Расстояние, которое ему осталось проехать до пункта А, составляет:

$d_{м, ост} = 2v_в - 0.5v_м$

По условию задачи, оставшееся велосипедисту расстояние в 11 раз больше, чем оставшееся мотоциклисту:

$d_{в, ост} = 11 \times d_{м, ост}$

$2v_м - 0.5v_в = 11 \times (2v_в - 0.5v_м)$

Это второе уравнение системы.

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $v_в + v_м = 80$
2) $2v_м - 0.5v_в = 11(2v_в - 0.5v_м)$

Упростим второе уравнение, раскрыв скобки:

$2v_м - 0.5v_в = 22v_в - 5.5v_м$

Соберем слагаемые с $v_м$ в левой части, а с $v_в$ — в правой:

$2v_м + 5.5v_м = 22v_в + 0.5v_в$

$7.5v_м = 22.5v_в$

Разделим обе части на 7.5:

$v_м = 3v_в$

Теперь подставим это выражение для $v_м$ в первое уравнение:

$v_в + 3v_в = 80$

$4v_в = 80$

$v_в = \frac{80}{4} = 20$ км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста:

$v_м = 3v_в = 3 \times 20 = 60$ км/ч.

4. Проверка.

Скорость велосипедиста 20 км/ч, скорость мотоциклиста 60 км/ч.

• Суммарная скорость: $20 + 60 = 80$ км/ч. Время до встречи: $160 / 80 = 2$ часа. (Верно).
• До встречи велосипедист проехал $20 \times 2 = 40$ км, а мотоциклист $60 \times 2 = 120$ км.
• После встречи велосипедисту осталось $120$ км, а мотоциклисту $40$ км.
• Через 30 минут (0.5 ч) после встречи велосипедисту осталось проехать $120 - 0.5 \times 20 = 120 - 10 = 110$ км.
• Через 30 минут (0.5 ч) после встречи мотоциклисту осталось проехать $40 - 0.5 \times 60 = 40 - 30 = 10$ км.
• Проверяем соотношение: $110 = 11 \times 10$. (Верно).

Все условия задачи выполнены.

Ответ: скорость мотоциклиста — 60 км/ч, скорость велосипедиста — 20 км/ч.