Номер 963, страница 232 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

963. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точки:

а) $(0; 30)$ и $(6; 0);$

б) $(2; 3)$ и $(-2; 10).$

а) Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, используется общее уравнение прямой $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (ордината точки пересечения прямой с осью OY).

Нам даны точки с координатами $(0; 30)$ и $(6; 0)$. Подставим координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$, чтобы составить систему уравнений и найти коэффициенты $k$ и $b$.

1. Для точки $(0; 30)$ подставляем $x=0$ и $y=30$:
$30 = k \cdot 0 + b$

2. Для точки $(6; 0)$ подставляем $x=6$ и $y=0$:
$0 = k \cdot 6 + b$

Из первого уравнения сразу находим значение $b$:
$b = 30$

Теперь подставим найденное значение $b=30$ во второе уравнение, чтобы найти $k$:
$0 = 6k + 30$
$6k = -30$
$k = \frac{-30}{6}$
$k = -5$

Мы нашли оба коэффициента: $k = -5$ и $b = 30$. Подставим их в общее уравнение прямой $y = kx + b$, чтобы получить итоговое уравнение:

$y = -5x + 30$

Ответ: $y = -5x + 30$

б) Аналогично найдем уравнение прямой, которая проходит через точки $(2; 3)$ и $(-2; 10)$.

Составим систему уравнений, подставив координаты этих точек в уравнение $y = kx + b$:

1. Для точки $(2; 3)$: $3 = k \cdot 2 + b \implies 2k + b = 3$

2. Для точки $(-2; 10)$: $10 = k \cdot (-2) + b \implies -2k + b = 10$

Теперь решим полученную систему уравнений. Удобно сложить два уравнения, чтобы найти переменную $b$:
$(2k + b) + (-2k + b) = 3 + 10$
$2k - 2k + 2b = 13$
$2b = 13$
$b = \frac{13}{2}$

Теперь, зная $b$, подставим его значение в первое уравнение ($2k + b = 3$) для нахождения $k$:
$2k + \frac{13}{2} = 3$
$2k = 3 - \frac{13}{2}$
Чтобы вычесть дроби, приведем 3 к общему знаменателю:
$2k = \frac{6}{2} - \frac{13}{2}$
$2k = -\frac{7}{2}$
$k = -\frac{7}{4}$

Зная коэффициенты $k = -\frac{7}{4}$ и $b = \frac{13}{2}$, запишем итоговое уравнение прямой:

$y = -\frac{7}{4}x + \frac{13}{2}$

Ответ: $y = -\frac{7}{4}x + \frac{13}{2}$