Номер 961, страница 232 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

961. Подберите значения k и b так, чтобы система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{l} y = kx + b, \\ y = 2.5x - 3: \end{array} \right.$$

а) не имела решений;

б) имела бесконечно много решений;

в) имела единственным решением пару чисел, в которой $x = 4$.

а) не имела решений;
Система двух линейных уравнений не имеет решений, если графики этих уравнений являются параллельными, но не совпадающими прямыми. Это происходит, когда угловые коэффициенты прямых равны, а точки пересечения с осью Y (свободные члены) — различны. В данной системе $y = kx + b$ и $y = 2,5x - 3$ угловой коэффициент первой прямой равен $k$, а второй — $2,5$. Точка пересечения с осью Y для первой прямой — $b$, для второй — $-3$. Следовательно, для отсутствия решений необходимо и достаточно выполнения условий: $k = 2,5$ и $b \neq -3$.
Ответ: $k = 2,5$, $b$ – любое число, не равное $-3$ (например, $b=1$).

б) имела бесконечно много решений;
Система имеет бесконечно много решений, если графики уравнений совпадают. Для этого необходимо, чтобы и угловые коэффициенты, и точки пересечения с осью Y были равны. Сравнивая уравнения $y = kx + b$ и $y = 2,5x - 3$, получаем условия: $k = 2,5$ и $b = -3$. При этих значениях оба уравнения описывают одну и ту же прямую.
Ответ: $k = 2,5$, $b = -3$.

в) имела единственным решением пару чисел, в которой x = 4.
Система имеет единственное решение, если графики уравнений пересекаются, то есть их угловые коэффициенты не равны: $k \neq 2,5$. По условию, это решение содержит $x = 4$. Найдем соответствующее значение $y$ из второго, полностью определенного, уравнения: $y = 2,5 \cdot 4 - 3 = 10 - 3 = 7$. Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(4, 7)$. Эта точка должна принадлежать и первой прямой, то есть её координаты должны удовлетворять уравнению $y = kx + b$. Подставим их: $7 = k \cdot 4 + b$, или $4k + b = 7$. Мы можем выбрать любое значение $k$, не равное $2,5$, и вычислить соответствующее значение $b$. Например, пусть $k=1$. Тогда: $4 \cdot 1 + b = 7$ $4 + b = 7$ $b = 3$ Эта пара значений ($k=1, b=3$) удовлетворяет всем условиям.
Ответ: например, $k = 1$ и $b = 3$. (Существует бесконечно много других пар, удовлетворяющих условию $4k+b=7$ при $k \neq 2,5$).