Номер 954, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

954. Приведите уравнение к виду $x^n = a$ и решите его:

а) $\frac{1}{8}x^3 = 1$;

б) $1000x^3 + 1 = 0$;

в) $\frac{1}{27}x^3 = 0,001$;

г) $\frac{1}{9}x^4 - 16 = 0$;

д) $1 + x^5 = 0$;

е) $x^8 - 16 = 0$.

а) Исходное уравнение: $\frac{1}{8}x^3 = 1$.
Чтобы привести уравнение к виду $x^n = a$, умножим обе его части на 8:
$x^3 = 1 \cdot 8$
$x^3 = 8$
Так как показатель степени $n=3$ является нечетным числом, уравнение имеет один действительный корень.
$x = \sqrt[3]{8}$
$x = 2$
Ответ: 2

б) Исходное уравнение: $1000x^3 + 1 = 0$.
Приведем уравнение к виду $x^n = a$. Для этого перенесем 1 в правую часть и разделим обе части на 1000:
$1000x^3 = -1$
$x^3 = -\frac{1}{1000}$
Показатель степени $n=3$ — нечетное число, поэтому уравнение имеет один действительный корень.
$x = \sqrt[3]{-\frac{1}{1000}}$
$x = -\frac{1}{10} = -0,1$
Ответ: -0,1

в) Исходное уравнение: $\frac{1}{27}x^3 = 0,001$.
Приведем уравнение к виду $x^n = a$, умножив обе части на 27:
$x^3 = 0,001 \cdot 27$
$x^3 = 0,027$
Так как показатель степени $n=3$ нечетный, уравнение имеет один действительный корень.
$x = \sqrt[3]{0,027}$
$x = 0,3$
Ответ: 0,3

г) Исходное уравнение: $\frac{1}{9}x^4 - 16 = 0$.
Приведем уравнение к виду $x^n = a$. Перенесем -16 в правую часть и умножим обе части на 9:
$\frac{1}{9}x^4 = 16$
$x^4 = 16 \cdot 9$
$x^4 = 144$
Показатель степени $n=4$ — четное число, а правая часть $a=144$ положительна, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
$x = \pm\sqrt[4]{144}$
Упростим корень: $\sqrt[4]{144} = \sqrt[4]{12^2} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
$x = \pm 2\sqrt{3}$
Ответ: $\pm 2\sqrt{3}$

д) Исходное уравнение: $1 + x^5 = 0$.
Приведем уравнение к виду $x^n = a$, перенеся 1 в правую часть:
$x^5 = -1$
Показатель степени $n=5$ нечетный, поэтому уравнение имеет один действительный корень.
$x = \sqrt[5]{-1}$
$x = -1$
Ответ: -1

е) Исходное уравнение: $x^8 - 16 = 0$.
Приведем уравнение к виду $x^n = a$, перенеся -16 в правую часть:
$x^8 = 16$
Показатель степени $n=8$ — четное число, а правая часть $a=16$ положительна, значит, уравнение имеет два действительных корня.
$x = \pm\sqrt[8]{16}$
Упростим корень: $\sqrt[8]{16} = \sqrt[8]{2^4} = 2^{\frac{4}{8}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.
$x = \pm\sqrt{2}$
Ответ: $\pm\sqrt{2}$