Номер 953, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

953. Решите уравнение:

а) $x^4 - 16x^2 = 0;$

б) $x = x^3;$

в) $1,2x^3 + x = 0;$

г) $0,4x^4 = x^3;$

д) $x^3 + 6x^2 - 16x = 0;$

е) $x^4 + x^3 - 6x^2 = 0;$

ж) $x^3 + x^2 = 9x + 9;$

з) $2x^3 + 8x = x^2 + 4.$

а) $x^4 - 16x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 16) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x^2 = 0$, откуда получаем $x_1 = 0$.

2) $x^2 - 16 = 0$. Это разность квадратов: $(x-4)(x+4) = 0$.

Отсюда $x-4=0$ или $x+4=0$.

Получаем еще два корня: $x_2 = 4$ и $x_3 = -4$.

Ответ: $-4; 0; 4$.

б) $x = x^3$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x_1 = 0$.

2) $x^2 - 1 = 0$. Это разность квадратов: $(x-1)(x+1) = 0$.

Отсюда $x-1=0$ или $x+1=0$.

Получаем еще два корня: $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

Ответ: $-1; 0; 1$.

в) $1,2x^3 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1,2x^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x_1 = 0$.

2) $1,2x^2 + 1 = 0$.

Перенесем 1 в правую часть: $1,2x^2 = -1$.

$x^2 = -\frac{1}{1,2} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}$.

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней.

Единственным решением является $x=0$.

Ответ: $0$.

г) $0,4x^4 = x^3$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$0,4x^4 - x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(0,4x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x^3 = 0$, откуда $x_1 = 0$.

2) $0,4x - 1 = 0$.

$0,4x = 1$

$x_2 = \frac{1}{0,4} = \frac{10}{4} = 2,5$.

Ответ: $0; 2,5$.

д) $x^3 + 6x^2 - 16x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + 6x - 16) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x_1 = 0$.

2) $x^2 + 6x - 16 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а произведение $-16$. Подходят числа $-8$ и $2$.

$x_2 = -8$, $x_3 = 2$.

Можно также решить через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.

$x = \frac{-6 \pm 10}{2}$.

$x_2 = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

$x_3 = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $-8; 0; 2$.

е) $x^4 + x^3 - 6x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 + x - 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x^2 = 0$, откуда $x_1 = 0$.

2) $x^2 + x - 6 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-6$. Подходят числа $-3$ и $2$.

$x_2 = -3$, $x_3 = 2$.

Ответ: $-3; 0; 2$.

ж) $x^3 + x^2 = 9x + 9$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

Сгруппируем члены:

$(x^3 + x^2) - (9x + 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x^2 - 9)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x + 1 = 0$, откуда $x_1 = -1$.

2) $x^2 - 9 = 0$, откуда $x^2=9$, $x_{2,3} = \pm 3$.

Ответ: $-3; -1; 3$.

з) $2x^3 + 8x = x^2 + 4$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$2x^3 - x^2 + 8x - 4 = 0$

Сгруппируем члены:

$(2x^3 - x^2) + (8x - 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(2x - 1) + 4(2x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x-1)$ за скобки:

$(x^2 + 4)(2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $2x - 1 = 0$, откуда $2x = 1$, $x_1 = 0,5$.

2) $x^2 + 4 = 0$, откуда $x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Единственным решением является $x=0,5$.

Ответ: $0,5$.