Номер 976, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

976. При каком значении с имеет решение система уравнений

$\begin{cases} 3x - y = 5, \\ x - 3y = 7, \\ 2x + 5y = c? \end{cases}$

Для того чтобы данная система из трех линейных уравнений с двумя переменными имела решение, необходимо, чтобы все три прямые, заданные этими уравнениями, пересекались в одной и той же точке. Следовательно, мы должны сначала найти точку пересечения первых двух прямых, решив систему из первых двух уравнений, а затем подставить координаты этой точки в третье уравнение, чтобы найти искомое значение c.

1. Найдем решение системы из первых двух уравнений:

$ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ x - 3y = 7 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим y:

$3x - 5 = y$

Подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:

$x - 3(3x - 5) = 7$

Теперь решим это уравнение относительно x. Раскроем скобки:

$x - 9x + 15 = 7$

Приведем подобные слагаемые:

$-8x = 7 - 15$

$-8x = -8$

$x = 1$

Теперь найдем значение y, подставив $x = 1$ в выражение $y = 3x - 5$:

$y = 3(1) - 5 = 3 - 5 = -2$

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(1; -2)$.

2. Найдем значение c:

Чтобы вся система имела решение, третья прямая $2x + 5y = c$ также должна проходить через точку $(1; -2)$. Подставим значения $x = 1$ и $y = -2$ в третье уравнение:

$2(1) + 5(-2) = c$

$2 - 10 = c$

$c = -8$

Следовательно, система уравнений имеет решение только при значении $c = -8$.

Ответ: -8