Номер 971, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

971. Смешали два раствора соли. Концентрация первого составляла 40%, а концентрация второго — 48%. В результате получился раствор соли концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Для решения задачи введем переменные. Пусть масса первого раствора (с концентрацией 40%) равна $m_1$, а масса второго раствора (с концентрацией 48%) равна $m_2$.

Масса соли в первом растворе составляет $0.40 \cdot m_1$.

Масса соли во втором растворе составляет $0.48 \cdot m_2$.

При смешивании этих двух растворов общая масса полученного раствора будет равна $m_1 + m_2$, а общая масса соли в нем — $0.40 m_1 + 0.48 m_2$.

Концентрация полученного раствора составляет 42%, или 0.42. Концентрация вычисляется как отношение массы соли к общей массе раствора. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение: $$ \frac{0.40 m_1 + 0.48 m_2}{m_1 + m_2} = 0.42 $$

Чтобы найти искомое отношение $\frac{m_1}{m_2}$, решим это уравнение. Умножим обе части на знаменатель $(m_1 + m_2)$: $$ 0.40 m_1 + 0.48 m_2 = 0.42(m_1 + m_2) $$

Раскроем скобки в правой части уравнения: $$ 0.40 m_1 + 0.48 m_2 = 0.42 m_1 + 0.42 m_2 $$

Теперь сгруппируем слагаемые с $m_1$ на одной стороне уравнения, а с $m_2$ — на другой: $$ 0.48 m_2 - 0.42 m_2 = 0.42 m_1 - 0.40 m_1 $$

Выполним вычитание: $$ 0.06 m_2 = 0.02 m_1 $$

Чтобы найти отношение $\frac{m_1}{m_2}$, разделим обе части уравнения на $m_2$ и на $0.02$: $$ \frac{m_1}{m_2} = \frac{0.06}{0.02} $$ $$ \frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{1} $$

Таким образом, отношение массы первого раствора к массе второго раствора составляет 3 к 1.

Ответ: Первый и второй растворы были взяты в отношении 3:1.