Номер 987, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Уравнения и системы уравнений. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 987, страница 235.

987. Последовательность $ (a_n) $ – арифметическая прогрессия. Известно, что $ a_6 = -6 $ и $ a_{16} = 17.5 $. Найдите сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.

По условию, последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия. Известны ее члены $a_6 = -6$ и $a_{16} = 17,5$. Необходимо найти сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии, $S_{16}$.

Для решения задачи нам понадобятся разность прогрессии $d$ и ее первый член $a_1$.

Сначала найдем разность прогрессии $d$. Воспользуемся формулой, связывающей любые два члена арифметической прогрессии: $a_m = a_k + (m-k)d$.
Подставим известные значения для $m=16$ и $k=6$:
$a_{16} = a_6 + (16-6)d$
$17,5 = -6 + 10d$
Теперь решим это уравнение относительно $d$:
$10d = 17,5 + 6$
$10d = 23,5$
$d = 2,35$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член прогрессии $a_1$. Воспользуемся формулой n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ для $n=6$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d$
$-6 = a_1 + 5 \cdot 2,35$
$-6 = a_1 + 11,75$
$a_1 = -6 - 11,75$
$a_1 = -17,75$

Наконец, вычислим сумму первых шестнадцати членов $S_{16}$ по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Мы знаем $a_1 = -17,75$, $a_{16} = 17,5$ и $n=16$.
$S_{16} = \frac{a_1 + a_{16}}{2} \cdot 16$
$S_{16} = \frac{-17,75 + 17,5}{2} \cdot 16$
$S_{16} = \frac{-0,25}{2} \cdot 16$
$S_{16} = -0,125 \cdot 16$
$S_{16} = -2$

Ответ: -2