Номер 995, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

995. Пятый член геометрической прогрессии ($b_n$) равен $1\frac{1}{2}$, а знаменатель прогрессии равен $-\frac{1}{2}$. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

По условию задачи, нам дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой пятый член $b_5 = 1\frac{1}{2}$ и знаменатель $q = -\frac{1}{2}$. Необходимо найти сумму первых пяти членов этой прогрессии, $S_5$.

Для начала, переведем смешанную дробь в неправильную: $b_5 = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Чтобы найти сумму первых пяти членов, нам нужно сначала определить первый член прогрессии, $b_1$. Мы можем сделать это, используя данные для пятого члена ($n=5$):

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Отсюда выразим $b_1$:

$b_1 = \frac{b_5}{q^4}$

Подставим известные значения $b_5 = \frac{3}{2}$ и $q = -\frac{1}{2}$:

$b_1 = \frac{\frac{3}{2}}{(-\frac{1}{2})^4} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{16}} = \frac{3}{2} \cdot 16 = 3 \cdot 8 = 24$

Теперь, зная первый член $b_1 = 24$, мы можем вычислить сумму первых пяти членов $S_5$ по формуле:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставим $n=5$, $b_1=24$ и $q=-\frac{1}{2}$:

$S_5 = \frac{24(1-(-\frac{1}{2})^5)}{1-(-\frac{1}{2})}$

Вычислим значение в знаменателе:

$1-(-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Вычислим значение в скобках в числителе:

$(-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1}{32}$

$1-(-\frac{1}{32}) = 1 + \frac{1}{32} = \frac{33}{32}$

Теперь подставим эти значения обратно в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{24 \cdot \frac{33}{32}}{\frac{3}{2}} = 24 \cdot \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3}$

Проведем сокращения:

$S_5 = \frac{24 \cdot 33 \cdot 2}{32 \cdot 3} = \frac{8 \cdot 3 \cdot 33 \cdot 2}{32 \cdot 3} = \frac{8 \cdot 33 \cdot 2}{32} = \frac{16 \cdot 33}{32} = \frac{33}{2}$

Результат можно представить в виде десятичной дроби или смешанного числа:

$S_5 = \frac{33}{2} = 16.5 = 16\frac{1}{2}$

Ответ: $16\frac{1}{2}$.