Страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1082. Найдите при любом натуральном n значение выражения

$\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n}{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n}}$

Для нахождения значения данного выражения, рассмотрим отдельно числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком кубического корня.

1. Преобразование числителя

Числитель представляет собой сумму: $1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n$.

Заметим, что каждое слагаемое в этой сумме можно представить в виде произведения, зависящего от его порядкового номера $k$ (где $k$ изменяется от 1 до $n$).

Первое слагаемое ($k=1$): $1 \cdot 2 \cdot 4 = 1 \cdot (2 \cdot 1) \cdot (4 \cdot 1) = 8 \cdot 1^3$.

Второе слагаемое ($k=2$): $2 \cdot 4 \cdot 8 = 2 \cdot (2 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 2) = 8 \cdot 2^3$.

Общий, $k$-й член суммы, имеет вид: $k \cdot (2k) \cdot (4k) = k \cdot 2 \cdot k \cdot 4 \cdot k = 8k^3$.

Следовательно, всю сумму в числителе можно записать как:

$1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n = 8 \cdot 1^3 + 8 \cdot 2^3 + \dots + 8 \cdot n^3$.

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$8(1^3 + 2^3 + \dots + n^3) = 8 \sum_{k=1}^{n} k^3$.

2. Преобразование знаменателя

Знаменатель представляет собой сумму: $1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n$.

Аналогично числителю, представим каждый член суммы через его порядковый номер $k$.

Первое слагаемое ($k=1$): $1 \cdot 3 \cdot 9 = 1 \cdot (3 \cdot 1) \cdot (9 \cdot 1) = 27 \cdot 1^3$.

Второе слагаемое ($k=2$): $2 \cdot 6 \cdot 18 = 2 \cdot (3 \cdot 2) \cdot (9 \cdot 2) = 27 \cdot 2^3$.

Общий, $k$-й член суммы, имеет вид: $k \cdot (3k) \cdot (9k) = k \cdot 3 \cdot k \cdot 9 \cdot k = 27k^3$.

Следовательно, всю сумму в знаменателе можно записать как:

$1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n = 27 \cdot 1^3 + 27 \cdot 2^3 + \dots + 27 \cdot n^3$.

Вынесем общий множитель 27 за скобки:

$27(1^3 + 2^3 + \dots + n^3) = 27 \sum_{k=1}^{n} k^3$.

3. Вычисление значения выражения

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n}{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n}} = \sqrt[3]{\frac{8 \sum_{k=1}^{n} k^3}{27 \sum_{k=1}^{n} k^3}}$

Так как $n$ - натуральное число, то сумма кубов $\sum_{k=1}^{n} k^3$ является положительным числом, отличным от нуля. Поэтому мы можем сократить дробь на этот общий множитель:

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

Остается извлечь кубический корень:

$\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$

Таким образом, значение выражения не зависит от натурального числа $n$ и всегда равно $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

1083. Докажите, что значение выражения

$(5 + 10^{n+1})(1 + 10 + \dots + 10^n) + 1$

при любом натуральном $n$ можно представить в виде квадрата натурального числа.

Для доказательства утверждения преобразуем данное выражение. Обозначим его как $A$.

$A = (5 + 10^{n+1})(1 + 10 + ... + 10^n) + 1$

Сумма во второй скобке $S_n = 1 + 10 + ... + 10^n$ является суммой первых $n+1$ членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 10$.

Применим формулу суммы геометрической прогрессии $S_k = b_1 \frac{q^k - 1}{q-1}$. В нашем случае количество членов $k = n+1$.

$S_n = 1 \cdot \frac{10^{n+1} - 1}{10 - 1} = \frac{10^{n+1} - 1}{9}$

Теперь подставим полученное выражение для суммы обратно в исходное выражение $A$:

$A = (5 + 10^{n+1}) \cdot \frac{10^{n+1} - 1}{9} + 1$

Для упрощения дальнейших вычислений введем замену: пусть $x = 10^{n+1}$.

$A = (5 + x) \cdot \frac{x - 1}{9} + 1$

Выполним умножение и приведем всё к общему знаменателю:

$A = \frac{(5 + x)(x - 1)}{9} + \frac{9}{9} = \frac{5x - 5 + x^2 - x + 9}{9} = \frac{x^2 + 4x + 4}{9}$

Мы видим, что числитель $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом выражения $(x+2)$, то есть $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Знаменатель $9$ также является квадратом числа $3$, то есть $9 = 3^2$.

Тогда всё выражение можно записать в виде квадрата:

$A = \frac{(x+2)^2}{3^2} = \left(\frac{x+2}{3}\right)^2$

Вернемся к исходной переменной, подставив обратно $x = 10^{n+1}$:

$A = \left(\frac{10^{n+1} + 2}{3}\right)^2$

Чтобы доказать, что это выражение является квадратом натурального числа, необходимо показать, что основание степени, то есть дробь $\frac{10^{n+1} + 2}{3}$, является натуральным числом при любом натуральном $n$.

Для этого докажем, что числитель $10^{n+1} + 2$ делится на 3 без остатка. Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Число $10^{n+1}$ — это единица, за которой следует $n+1$ нулей (например, $100$, $1000$ и т.д.). Число $10^{n+1} + 2$ будет состоять из цифры 1, за которой следуют $n$ нулей, и последней цифры 2. Например, при $n=1$ это $10^2+2=102$; при $n=2$ это $10^3+2=1002$.

Сумма цифр числа $10^{n+1} + 2$ равна $1 + \underbrace{0 + ... + 0}_{n \text{ нулей}} + 2 = 3$.

Поскольку сумма цифр (равная 3) делится на 3, то и само число $10^{n+1} + 2$ делится на 3 при любом натуральном $n$. Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $10^{n+1} + 2$ — положительное число, и результат деления $\frac{10^{n+1} + 2}{3}$ будет натуральным числом.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение всегда равно квадрату натурального числа.

Ответ: Исходное выражение можно представить в виде $\left(\frac{10^{n+1} + 2}{3}\right)^2$. Так как при любом натуральном $n$ число $10^{n+1} + 2$ делится на 3 нацело, то значение $\frac{10^{n+1} + 2}{3}$ является натуральным числом. Следовательно, исходное выражение является квадратом натурального числа, что и требовалось доказать.

1084. Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое после умножения на 21 станет квадратом натурального числа.

Пусть искомое наименьшее четырёхзначное число — это $x$. Согласно условию, $x$ должен быть не меньше 1000, то есть $x \ge 1000$.

Также по условию, произведение этого числа на 21 является квадратом натурального числа. Обозначим это натуральное число как $k$. Тогда можно составить уравнение:
$21 \cdot x = k^2$

Для того чтобы число было полным квадратом, все простые множители в его каноническом разложении должны входить в чётных степенях. Разложим число 21 на простые множители:
$21 = 3^1 \cdot 7^1$

Подставим это в уравнение:
$3^1 \cdot 7^1 \cdot x = k^2$

Из этого уравнения видно, что для того, чтобы степени множителей 3 и 7 в левой части стали чётными, число $x$ должно содержать в своём разложении как минимум по одному множителю 3 и 7. Все остальные множители в разложении $x$ также должны образовывать полный квадрат. Таким образом, $x$ должен иметь следующую структуру:
$x = 3 \cdot 7 \cdot m^2 = 21 \cdot m^2$, где $m$ — некоторое натуральное число.

Теперь нам нужно найти наименьшее четырёхзначное число $x$. Для этого найдём наименьшее натуральное $m$, при котором $x$ будет удовлетворять условию $x \ge 1000$.
$21 \cdot m^2 \ge 1000$

Решим это неравенство относительно $m^2$:
$m^2 \ge \frac{1000}{21}$
$m^2 \ge 47{,}619...$

Поскольку $m$ — натуральное число, $m^2$ должен быть наименьшим целым числом, являющимся полным квадратом, которое больше или равно $47{,}619...$.
Рассмотрим квадраты ближайших натуральных чисел: $6^2 = 36$ (не подходит, так как меньше $47{,}619...$), $7^2 = 49$ (подходит).
Следовательно, наименьшее значение для $m^2$ равно 49, а для $m$ — 7.

Теперь вычислим искомое число $x$:
$x = 21 \cdot m^2 = 21 \cdot 49 = 1029$.

Проверка: 1029 — это наименьшее четырёхзначное число, так как мы использовали наименьшее возможное значение $m$. Убедимся, что произведение $1029 \cdot 21$ является полным квадратом: $1029 \cdot 21 = 21609 = 147^2$. Условие выполнено.

Ответ: 1029

1085. Трёхзначное число $x$, кратное 5, можно представить в виде суммы куба и квадрата одного и того же натурального числа. Найдите число $x$.

Пусть искомое трёхзначное число равно $x$, а натуральное число, о котором говорится в условии, равно $n$.

Согласно условию задачи, число $x$ можно представить в виде суммы куба и квадрата числа $n$. Это можно записать в виде формулы:$x = n^3 + n^2$

Вынесем общий множитель $n^2$ за скобки для удобства вычислений:$x = n^2(n+1)$

Также в условии сказано, что $x$ — это трёхзначное число. Это означает, что $x$ находится в диапазоне от 100 до 999:$100 \le x \le 999$

Подставим в это неравенство выражение для $x$ через $n$:$100 \le n^2(n+1) \le 999$

Теперь найдем возможные значения натурального числа $n$ путем подбора.

• При $n=4$: $x = 4^2(4+1) = 16 \cdot 5 = 80$. Это число меньше 100, значит $n$ должно быть больше 4.
• При $n=5$: $x = 5^2(5+1) = 25 \cdot 6 = 150$. Это число входит в искомый диапазон.
• При $n=9$: $x = 9^2(9+1) = 81 \cdot 10 = 810$. Это число также входит в искомый диапазон.
• При $n=10$: $x = 10^2(10+1) = 100 \cdot 11 = 1100$. Это число больше 999, значит $n$ должно быть меньше 10.

Таким образом, натуральное число $n$ может принимать значения от 5 до 9 включительно: $n \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$.

Третье условие состоит в том, что число $x$ кратно 5, то есть делится на 5 без остатка.Следовательно, выражение $n^2(n+1)$ должно быть кратно 5.Поскольку 5 — простое число, для делимости произведения на 5 необходимо, чтобы хотя бы один из множителей делился на 5. Это означает, что либо $n^2$ делится на 5 (что равносильно тому, что $n$ делится на 5), либо $n+1$ делится на 5.

Проверим, какие из найденных возможных значений $n \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$ удовлетворяют этому условию:

• Для $n=5$: число 5 делится на 5. Это значение подходит.
• Для $n=6$: ни 6, ни $6+1=7$ не делятся на 5. Не подходит.
• Для $n=7$: ни 7, ни $7+1=8$ не делятся на 5. Не подходит.
• Для $n=8$: ни 8, ни $8+1=9$ не делятся на 5. Не подходит.
• Для $n=9$: число 9 не делится на 5, но $9+1=10$ делится на 5. Это значение подходит.

Итак, условиям задачи удовлетворяют два значения $n$: 5 и 9.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого из этих значений $n$:

• При $n=5$ получаем: $x = 5^2(5+1) = 25 \cdot 6 = 150$.
• При $n=9$ получаем: $x = 9^2(9+1) = 81 \cdot 10 = 810$.

Оба числа, 150 и 810, удовлетворяют всем условиям задачи: они трёхзначные, кратны 5 и являются суммой куба и квадрата одного и того же натурального числа.

Ответ: 150, 810.

1086. Взяли два различных натуральных числа. Эти числа сложили, перемножили, вычли из большего данного числа меньшее и разделили большее на меньшее. Оказалось, что сумма всех четырёх результатов равна 441. Найдите эти числа.

Пусть искомые два различных натуральных числа — это $a$ и $b$. Поскольку в условии задачи выполняется вычитание меньшего числа из большего и деление большего на меньшее, предположим, что $a > b$.

Согласно условию, были выполнены четыре операции: сложение ($a + b$), умножение ($a \cdot b$), вычитание ($a - b$) и деление ($\frac{a}{b}$). Сумма всех четырёх результатов равна 441. Составим и упростим уравнение: $$(a + b) + (a \cdot b) + (a - b) + \frac{a}{b} = 441$$ $$a + b + ab + a - b + \frac{a}{b} = 441$$ $$2a + ab + \frac{a}{b} = 441$$

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, то $2a$ и $ab$ являются целыми числами. Сумма всех слагаемых — целое число 441. Следовательно, слагаемое $\frac{a}{b}$ также должно быть целым числом. Это означает, что $a$ делится на $b$ без остатка.

Обозначим частное от деления $a$ на $b$ как $k$, то есть $\frac{a}{b} = k$. Так как по условию числа $a$ и $b$ различны ($a \neq b$), $k$ должно быть натуральным числом, большим 1, то есть $k \ge 2$. Выразим $a$ через $b$ и $k$: $a = kb$. Подставим это выражение в наше уравнение: $$2(kb) + (kb)b + \frac{kb}{b} = 441$$ $$2kb + kb^2 + k = 441$$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки и преобразуем выражение в скобках в полный квадрат: $$k(b^2 + 2b + 1) = 441$$ $$k(b + 1)^2 = 441$$

Теперь нам нужно найти натуральные числа $b \ge 1$ и $k \ge 2$, которые удовлетворяют этому уравнению. Для этого разложим число 441 на простые множители: $441 = 3^2 \cdot 7^2$. Из уравнения следует, что $(b + 1)^2$ должно быть делителем числа 441, который является полным квадратом. Поскольку $b \ge 1$, то $b + 1 \ge 2$, и $(b + 1)^2 \ge 4$. Возможные значения для $(b+1)^2$: $9$, $49$ и $441$.

Рассмотрим каждый случай:

1. Если $(b + 1)^2 = 9$, то $b + 1 = 3$, откуда $b = 2$. Тогда $k = \frac{441}{9} = 49$. Условие $k \ge 2$ выполняется. Находим $a = kb = 49 \cdot 2 = 98$. Получаем пару чисел (98, 2). Проверка: $(98+2) + (98 \cdot 2) + (98-2) + (98/2) = 100 + 196 + 96 + 49 = 441$. Решение верное.

2. Если $(b + 1)^2 = 49$, то $b + 1 = 7$, откуда $b = 6$. Тогда $k = \frac{441}{49} = 9$. Условие $k \ge 2$ выполняется. Находим $a = kb = 9 \cdot 6 = 54$. Получаем пару чисел (54, 6). Проверка: $(54+6) + (54 \cdot 6) + (54-6) + (54/6) = 60 + 324 + 48 + 9 = 441$. Решение также верное.

3. Если $(b + 1)^2 = 441$, то $b + 1 = 21$, откуда $b = 20$. Тогда $k = \frac{441}{441} = 1$. Это значение противоречит условию $k \ge 2$ (так как числа должны быть различными). Следовательно, этот случай не дает решения.

Таким образом, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 2 и 98; 6 и 54.

1087. Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45.

Пусть искомые натуральные числа — это $x$ и $y$. Поскольку разность их квадратов положительна ($45$), одно число должно быть больше другого. Пусть $x > y$.

Согласно условию задачи, составим уравнение:

$x^2 - y^2 = 45$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для левой части уравнения:

$(x - y)(x + y) = 45$

Поскольку $x$ и $y$ являются натуральными числами (то есть $1, 2, 3, \dots$), то выражения $(x-y)$ и $(x+y)$ являются целыми числами. Так как $x > y \ge 1$, то $(x-y)$ — это натуральное число, и $(x+y)$ — это также натуральное число. Кроме того, очевидно, что $(x+y) > (x-y)$.

Таким образом, задача сводится к нахождению пар натуральных множителей числа 45, где $(x-y)$ является меньшим множителем, а $(x+y)$ — большим.

Разложим число 45 на пары множителей:

• $1 \times 45$
• $3 \times 15$
• $5 \times 9$

Рассмотрим каждый случай отдельно, решая систему линейных уравнений.

Случай 1: Множители 1 и 45.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 45 \end{cases}$

Сложим оба уравнения: $(x - y) + (x + y) = 1 + 45 \Rightarrow 2x = 46 \Rightarrow x = 23$.
Подставим значение $x$ во второе уравнение: $23 + y = 45 \Rightarrow y = 22$.
Получили первую пару натуральных чисел (23, 22).

Случай 2: Множители 3 и 15.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 15 \end{cases}$

Сложим оба уравнения: $(x - y) + (x + y) = 3 + 15 \Rightarrow 2x = 18 \Rightarrow x = 9$.
Подставим значение $x$: $9 + y = 15 \Rightarrow y = 6$.
Получили вторую пару натуральных чисел (9, 6).

Случай 3: Множители 5 и 9.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = 9 \end{cases}$

Сложим оба уравнения: $(x - y) + (x + y) = 5 + 9 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$.
Подставим значение $x$: $7 + y = 9 \Rightarrow y = 2$.
Получили третью пару натуральных чисел (7, 2).

Мы нашли все возможные пары натуральных чисел, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: искомыми числами могут быть следующие пары: 23 и 22; 9 и 6; 7 и 2.

1088. Докажите, что не существует натурального числа, которое от перестановки первой цифры в конец числа увеличилось бы в 5 раз.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что такое натуральное число, которое от перестановки первой цифры в конец увеличивается в 5 раз, существует. Обозначим это число как $N$.

Пусть число $N$ состоит из $n$ цифр, где $n$ — натуральное число. Обозначим его первую цифру как $a$, а число, образованное оставшимися $n-1$ цифрами, как $B$. Тогда исходное число $N$ можно представить в виде:

$N = a \cdot 10^{n-1} + B$

В этой записи $a$ является цифрой от 1 до 9 (так как это первая цифра натурального числа), а $B$ — это целое неотрицательное число, которое имеет не более $n-1$ знаков, что означает $0 \le B < 10^{n-1}$.

Новое число, обозначим его $N'$, получается, когда мы переносим первую цифру $a$ в конец. Это эквивалентно тому, что мы берем число $B$ и дописываем к нему справа цифру $a$. Математически это записывается как:

$N' = 10 \cdot B + a$

Согласно условию задачи, новое число в 5 раз больше исходного:

$N' = 5N$

Подставим в это равенство наши выражения для $N$ и $N'$:

$10B + a = 5(a \cdot 10^{n-1} + B)$

Теперь решим это уравнение относительно $B$:

$10B + a = 5a \cdot 10^{n-1} + 5B$

$10B - 5B = 5a \cdot 10^{n-1} - a$

$5B = a(5 \cdot 10^{n-1} - 1)$

Из полученного уравнения видно, что левая часть ($5B$) делится на 5. Следовательно, и правая часть $a(5 \cdot 10^{n-1} - 1)$ также должна делиться на 5. Рассмотрим множитель $(5 \cdot 10^{n-1} - 1)$. При любом $n \ge 1$, число $5 \cdot 10^{n-1}$ является числом, которое оканчивается на 0 (например, 5, 50, 500...). Тогда число $(5 \cdot 10^{n-1} - 1)$ будет оканчиваться на 9 (например, 4, 49, 499...). Число, оканчивающееся на 9, не может делиться на 5. Отсюда следует, что на 5 должен делиться другой множитель в правой части, то есть $a$.

Поскольку $a$ — это первая цифра числа, она принадлежит множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Единственная цифра из этого множества, которая делится на 5, — это $a=5$.

Подставим это значение $a=5$ в наше уравнение для $B$:

$5B = 5(5 \cdot 10^{n-1} - 1)$

Разделив обе части на 5, получим выражение для $B$:

$B = 5 \cdot 10^{n-1} - 1$

Теперь нам нужно проверить, совместимо ли это значение $B$ с первоначальным ограничением $B < 10^{n-1}$. Подставим наше выражение для $B$ в это неравенство:

$5 \cdot 10^{n-1} - 1 < 10^{n-1}$

Перенесем $10^{n-1}$ в левую часть, а $-1$ в правую:

$5 \cdot 10^{n-1} - 10^{n-1} < 1$

$4 \cdot 10^{n-1} < 1$

Это неравенство не выполняется ни для одного натурального $n \ge 1$. Если $n=1$, то $4 \cdot 10^0 = 4$, и $4 < 1$ — ложно. Если $n > 1$, то $10^{n-1}$ будет 10 или больше, и $4 \cdot 10^{n-1}$ будет 40 или больше, что тем более не меньше 1.

Мы пришли к противоречию. Наше предположение о том, что такое число $N$ существует, привело к неверному неравенству. Следовательно, исходное предположение было ложным.

Ответ: Доказано, что такого натурального числа не существует.

1089. Решите уравнение

$\sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - x)^2} - 5\sqrt[3]{65^2 - x^2} = 0.$

Данное уравнение:$$ \sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - x)^2} - 5\sqrt[3]{65^2 - x^2} = 0 $$Заметим, что подкоренное выражение в третьем слагаемом можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $65^2 - x^2 = (65 - x)(65 + x)$.Тогда уравнение можно переписать в виде:$$ \sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - x)^2} - 5\sqrt[3]{(65 + x)(65 - x)} = 0 $$Это уравнение является однородным. Для его решения введем замены.Пусть $a = \sqrt[3]{65 + x}$ и $b = \sqrt[3]{65 - x}$.Подставив эти замены в уравнение, получим:$$ a^2 + 4b^2 - 5ab = 0 $$Перепишем его, упорядочив члены по степеням $a$:$$ a^2 - 5ab + 4b^2 = 0 $$Рассмотрим случай, когда $b = 0$.Если $b = \sqrt[3]{65 - x} = 0$, то $65 - x = 0$, откуда $x = 65$.Подставим $x = 65$ в исходное уравнение:$$ \sqrt[3]{(65 + 65)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - 65)^2} - 5\sqrt[3]{65^2 - 65^2} = \sqrt[3]{130^2} + 4 \cdot 0 - 5 \cdot 0 = \sqrt[3]{16900} $$Поскольку $\sqrt[3]{16900} \neq 0$, $x = 65$ не является корнем уравнения. Следовательно, $b \neq 0$.Так как $b \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения $a^2 - 5ab + 4b^2 = 0$ на $b^2$:$$ \left(\frac{a}{b}\right)^2 - 5\left(\frac{a}{b}\right) + 4 = 0 $$Сделаем еще одну замену. Пусть $t = \frac{a}{b}$. Уравнение превращается в квадратное относительно $t$:$$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни:$t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.Теперь вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.

Случай 1: $t = 1$.В этом случае $\frac{a}{b} = 1$, что означает $a = b$.Подставляем обратно выражения для $a$ и $b$:$$ \sqrt[3]{65 + x} = \sqrt[3]{65 - x} $$Возводим обе части уравнения в третью степень:$$ 65 + x = 65 - x $$$$ 2x = 0 $$$$ x_1 = 0 $$

Случай 2: $t = 4$.В этом случае $\frac{a}{b} = 4$, что означает $a = 4b$.Подставляем обратно выражения для $a$ и $b$:$$ \sqrt[3]{65 + x} = 4\sqrt[3]{65 - x} $$Возводим обе части уравнения в третью степень:$$ 65 + x = 4^3(65 - x) $$$$ 65 + x = 64(65 - x) $$$$ 65 + x = 64 \cdot 65 - 64x $$Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:$$ x + 64x = 64 \cdot 65 - 65 $$$$ 65x = 63 \cdot 65 $$Разделим обе части на 65:$$ x_2 = 63 $$

Мы нашли два возможных корня: $0$ и $63$. Выполним проверку, подставив их в исходное уравнение.
Проверка для $x = 0$:$$ \sqrt[3]{(65 + 0)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - 0)^2} - 5\sqrt[3]{65^2 - 0^2} = \sqrt[3]{65^2} + 4\sqrt[3]{65^2} - 5\sqrt[3]{65^2} = (1+4-5)\sqrt[3]{65^2} = 0 $$Равенство $0 = 0$ верно, значит $x=0$ является корнем.
Проверка для $x = 63$:$$ \sqrt[3]{(65 + 63)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - 63)^2} - 5\sqrt[3]{65^2 - 63^2} = 0 $$$$ \sqrt[3]{128^2} + 4\sqrt[3]{2^2} - 5\sqrt[3]{(65-63)(65+63)} = 0 $$$$ \sqrt[3]{(2^7)^2} + 4\sqrt[3]{4} - 5\sqrt[3]{2 \cdot 128} = 0 $$$$ \sqrt[3]{2^{14}} + 4\sqrt[3]{4} - 5\sqrt[3]{2^8} = 0 $$$$ \sqrt[3]{2^{12} \cdot 2^2} + 4\sqrt[3]{4} - 5\sqrt[3]{2^6 \cdot 2^2} = 0 $$$$ 2^4\sqrt[3]{4} + 4\sqrt[3]{4} - 5 \cdot 2^2\sqrt[3]{4} = 0 $$$$ 16\sqrt[3]{4} + 4\sqrt[3]{4} - 20\sqrt[3]{4} = 0 $$$$ (16 + 4 - 20)\sqrt[3]{4} = 0 $$Равенство $0 = 0$ верно, значит $x=63$ также является корнем.

Ответ: $0; 63$.

1090. Постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) $xy^2 < x;$

б) $y^2 - x^2y + 2x^2 > 2y;$

в) $x^3 + xy^2 - 4x \le 0;$

г) $x^2y + y^3 - y \ge 0.$

а) $xy^2 < x$

Сначала преобразуем неравенство, перенеся все члены в левую часть и вынеся общий множитель за скобки:
$xy^2 - x < 0$
$x(y^2 - 1) < 0$

Произведение двух сомножителей $x$ и $(y^2 - 1)$ отрицательно, когда они имеют разные знаки. Это приводит к двум возможным случаям:

1. $x > 0$ и $y^2 - 1 < 0$.
Второе неравенство $y^2 < 1$ эквивалентно $-1 < y < 1$.
Таким образом, первая область решения — это вертикальная полоса между прямыми $y=-1$ и $y=1$, расположенная в правой полуплоскости ($x > 0$).

2. $x < 0$ и $y^2 - 1 > 0$.
Второе неравенство $y^2 > 1$ эквивалентно $y > 1$ или $y < -1$.
Таким образом, мы получаем еще две области решения: точки в левой полуплоскости ($x < 0$), которые находятся выше прямой $y=1$, и точки в левой полуплоскости ($x < 0$), которые находятся ниже прямой $y=-1$.

Границами искомого множества являются прямые $x=0$ (ось OY), $y=1$ и $y=-1$. Поскольку неравенство строгое ($<$), сами границы не входят в множество решений и на графике изображаются пунктирными линиями.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, представляет собой объединение трех областей: полосы, ограниченной прямыми $y=-1$ и $y=1$ в правой полуплоскости ($x > 0$); области в левой полуплоскости над прямой $y=1$ ($x<0, y>1$); и области в левой полуплоскости под прямой $y=-1$ ($x<0, y<-1$). Границы областей ($x=0, y=1, y=-1$) не включаются.

б) $y^2 - x^2y + 2x^2 > 2y$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их для разложения на множители:
$y^2 - 2y - x^2y + 2x^2 > 0$
$(y^2 - 2y) - (x^2y - 2x^2) > 0$
$y(y - 2) - x^2(y - 2) > 0$
$(y - 2)(y - x^2) > 0$

Произведение двух множителей положительно, когда оба множителя имеют одинаковый знак. Это эквивалентно совокупности двух систем неравенств:

Система 1: $y - 2 > 0$ и $y - x^2 > 0$. Это эквивалентно условию $y > \max(2, x^2)$.
Система 2: $y - 2 < 0$ и $y - x^2 < 0$. Это эквивалентно условию $y < \min(2, x^2)$.

Границами искомого множества служат парабола $y = x^2$ и прямая $y = 2$. Они пересекаются в точках $(-\sqrt{2}, 2)$ и $(\sqrt{2}, 2)$. Поскольку неравенство строгое ($>$), сами границы в решение не входят и изображаются пунктирными линиями.

Решением является объединение двух областей:
1. Область, заданная неравенством $y > \max(2, x^2)$. Это точки, лежащие выше "верхней огибающей" кривых $y=2$ и $y=x^2$. Для $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ это область $y > 2$, а для $|x| > \sqrt{2}$ это область $y > x^2$.
2. Область, заданная неравенством $y < \min(2, x^2)$. Это точки, лежащие ниже "нижней огибающей" кривых $y=2$ и $y=x^2$. Для $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ это область $y < x^2$ (внутри параболы), а для $|x| > \sqrt{2}$ это область $y < 2$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, является объединением двух областей: $\{ (x, y) | y > \max(2, x^2) \}$ и $\{ (x, y) | y < \min(2, x^2) \}$. Границы областей (парабола $y=x^2$ и прямая $y=2$) не включаются.

в) $x^3 + xy^2 - 4x \le 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + y^2 - 4) \le 0$

Произведение двух множителей неположительно, когда множители имеют разные знаки или один из них равен нулю. Это эквивалентно совокупности двух систем:

Система 1: $x \ge 0$ и $x^2 + y^2 - 4 \le 0$.
Второе неравенство эквивалентно $x^2 + y^2 \le 4$. Это круг с центром в (0,0) и радиусом 2.
Решением этой системы являются точки, лежащие в правой полуплоскости ($x \ge 0$) и внутри или на этой окружности. Это правая половина круга.

Система 2: $x \le 0$ и $x^2 + y^2 - 4 \ge 0$.
Второе неравенство эквивалентно $x^2 + y^2 \ge 4$.
Решением этой системы являются точки, лежащие в левой полуплоскости ($x \le 0$) и вне или на этой окружности.

Границами искомого множества являются прямая $x=0$ (ось OY) и окружность $x^2 + y^2 = 4$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти линии включаются в решение и изображаются сплошными линиями.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение правой половины круга $x^2 + y^2 \le 4$ (при $x \ge 0$) и части плоскости, расположенной в левой полуплоскости ($x \le 0$) вне этого круга ($x^2 + y^2 \ge 4$). Границы областей (ось OY и окружность $x^2+y^2=4$) включаются в решение.

г) $x^2y + y^3 - y \ge 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(x^2 + y^2 - 1) \ge 0$

Произведение двух множителей неотрицательно, когда множители имеют одинаковые знаки или один из них равен нулю. Это эквивалентно совокупности двух систем:

Система 1: $y \ge 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \ge 0$.
Второе неравенство эквивалентно $x^2 + y^2 \ge 1$. Это область вне или на единичной окружности с центром в (0,0).
Решением этой системы являются точки, лежащие в верхней полуплоскости ($y \ge 0$) и одновременно вне или на единичной окружности.

Система 2: $y \le 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \le 0$.
Второе неравенство эквивалентно $x^2 + y^2 \le 1$. Это единичный круг.
Решением этой системы являются точки, лежащие в нижней полуплоскости ($y \le 0$) и одновременно внутри или на единичной окружности. Это нижняя половина круга.

Границами искомого множества являются прямая $y=0$ (ось OX) и окружность $x^2 + y^2 = 1$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти линии включаются в решение и изображаются сплошными линиями.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение нижней половины круга $x^2 + y^2 \le 1$ (при $y \le 0$) и части плоскости, расположенной в верхней полуплоскости ($y \ge 0$) вне этого круга ($x^2 + y^2 \ge 1$). Границы областей (ось OX и окружность $x^2+y^2=1$) включаются в решение.

1091. Изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют системе:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ |x| \ge 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ |y| \ge 2. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ |x| \ge 1 \end{cases} $$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ описывает множество точек, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Геометрически это замкнутый круг.

Второе неравенство $|x| \ge 1$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 1$ или $x \le -1$. Это множество задает две полуплоскости: одна справа от вертикальной прямой $x = 1$ (включая саму прямую), а другая — слева от вертикальной прямой $x = -1$ (включая саму прямую). Вместе они образуют всю координатную плоскость, за исключением открытой вертикальной полосы, заданной неравенством $-1 < x < 1$.

Для того чтобы найти множество точек, удовлетворяющих системе, необходимо найти пересечение (общую часть) множеств, заданных каждым из неравенств. Это означает, что из круга $x^2 + y^2 \le 4$ нужно выбрать только те точки, у которых абсцисса $x$ удовлетворяет условию $|x| \ge 1$.

В результате мы получаем круг радиуса 2 с центром в начале координат, из которого вырезана центральная вертикальная полоса. Границы фигуры (части окружности и отрезки прямых $x=1$ и $x=-1$) включаются в искомое множество, так как неравенства в системе нестрогие.

Ответ: Искомое множество точек — это замкнутый круг радиуса 2 с центром в начале координат, из которого удалена открытая вертикальная полоса $-1 < x < 1$. Границы фигуры принадлежат множеству.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ |y| \ge 2 \end{cases} $$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ описывает множество точек, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Геометрически это замкнутый круг.

Второе неравенство $|y| \ge 2$ равносильно совокупности двух неравенств: $y \ge 2$ или $y \le -2$. Это множество задает две полуплоскости: одна выше горизонтальной прямой $y = 2$ (включая саму прямую), а другая — ниже горизонтальной прямой $y = -2$ (включая саму прямую). Вместе они образуют всю координатную плоскость, за исключением открытой горизонтальной полосы, заданной неравенством $-2 < y < 2$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это означает, что из круга $x^2 + y^2 \le 9$ нужно выбрать только те точки, у которых ордината $y$ удовлетворяет условию $|y| \ge 2$.

В результате мы получаем два сегмента круга радиуса 3. Один сегмент находится выше прямой $y=2$, а другой — ниже прямой $y=-2$. Так как все неравенства нестрогие, границы сегментов (дуги окружности и хорды, лежащие на прямых $y=2$ и $y=-2$) принадлежат искомому множеству.

Ответ: Искомое множество точек — это два сегмента, полученные из замкнутого круга $x^2 + y^2 \le 9$ путем удаления открытой горизонтальной полосы $-2 < y < 2$. Все границы фигуры принадлежат множеству.

1092. В мешке содержится 2 чёрных и 2 белых шара. Рассматриваются события:

A — наугад извлечённые 2 шара оказываются одного цвета;

B — наугад извлечённые 2 шара оказываются разных цветов.

Игорь считает, что $P(A) = P(B)$, а Олег считает, что $P(A) < P(B)$. Кто из них прав?

Для решения задачи определим вероятности каждого из событий A и B. Всего в мешке 4 шара (2 чёрных + 2 белых). Эксперимент состоит в извлечении 2 шаров.

Сначала найдём общее число элементарных исходов. Это количество способов выбрать 2 шара из 4 без учёта порядка, то есть число сочетаний из 4 по 2.

Общее число исходов $N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

А — наугад извлечённые 2 шара оказываются одного цвета

Событие A наступает, если извлечены либо два чёрных шара, либо два белых шара.
Количество способов извлечь 2 чёрных шара из 2 имеющихся равно $C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1$.
Количество способов извлечь 2 белых шара из 2 имеющихся также равно $C_2^2 = 1$.
Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию A, равно $N(A) = C_2^2 + C_2^2 = 1 + 1 = 2$.

Вероятность события A вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

B — наугад извлечённые 2 шара оказываются разных цветов

Событие B наступает, если извлечён один чёрный и один белый шар.
Количество способов извлечь 1 чёрный шар из 2 равно $C_2^1 = 2$.
Количество способов извлечь 1 белый шар из 2 равно $C_2^1 = 2$.
Согласно правилу произведения в комбинаторике, число исходов, благоприятствующих событию B, равно $N(B) = C_2^1 \cdot C_2^1 = 2 \cdot 2 = 4$.

Вероятность события B равна:
$P(B) = \frac{N(B)}{N} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Теперь сравним вероятности $P(A)$ и $P(B)$:
$P(A) = \frac{1}{3}$
$P(B) = \frac{2}{3}$
Так как $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$, то $P(A) < P(B)$.

Игорь считал, что $P(A) = P(B)$, а Олег — что $P(A) < P(B)$. Сравнение вероятностей показывает, что прав Олег.

Ответ: Олег прав.