Страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1093. В мешке содержится 1 чёрный и 3 белых шара. Рассмотрите события:

A — наугад извлечённые 2 шара оказываются одного цвета;

B — наугад извлечённые 2 шара оказываются разных цветов.

Сравните $P(A)$ и $P(B)$.

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Всего в мешке находится $1 + 3 = 4$ шара. Из мешка наугад извлекают 2 шара. Общее число способов сделать это, то есть общее число элементарных исходов, равно числу сочетаний из 4 элементов по 2:

$N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

Далее найдем вероятности каждого из указанных событий.

A — наугад извлечённые 2 шара оказываются одного цвета.

Событие A наступает, если оба извлеченных шара одного цвета. Поскольку в мешке только 1 черный шар, извлечь 2 черных шара невозможно. Следовательно, событие A может произойти, только если оба извлеченных шара — белые. Число благоприятных исходов для события A равно количеству способов выбрать 2 белых шара из 3 имеющихся:

$m_A = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$

Вероятность события A вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

B — наугад извлечённые 2 шара оказываются разных цветов.

Событие B наступает, если извлечены шары разных цветов, то есть 1 черный и 1 белый. Найдем число благоприятных исходов для этого события. Количество способов выбрать 1 черный шар из 1 имеющегося равно $C_1^1 = 1$. Количество способов выбрать 1 белый шар из 3 имеющихся равно $C_3^1 = 3$. Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов извлечь 1 черный и 1 белый шар равно:

$m_B = C_1^1 \times C_3^1 = 1 \times 3 = 3$

Вероятность события B равна:

$P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Сравнение P(A) и P(B).

Мы вычислили вероятности обоих событий: $P(A) = \frac{1}{2}$ и $P(B) = \frac{1}{2}$. Сравнивая эти значения, мы приходим к выводу, что они равны.

Ответ: $P(A) = P(B)$.

1094. Находясь на даче у бабушки, Николай написал 3 письма Мише, Олегу и Пете. Письма он положил в конверты, надписал адреса и отправил по почте. Вечером он вспомнил, что не проверил, совпадает ли каждое письмо с соответствующим адресом. Рассмотрите следующие события:

A — все письма попадут к их адресатам;

B — ни одно письмо не попадёт по назначению;

C — только одно из писем попадёт по назначению;

D — только 2 письма попадут по назначению.

Найдите $P(A)$, $P(B)$, $P(C)$ и $P(D)$.

Для решения этой задачи по теории вероятностей нам нужно определить общее число возможных исходов и число исходов, благоприятствующих каждому из событий A, B, C и D.

Николай написал 3 письма трем разным адресатам (Мише, Олегу и Пете) и случайным образом разложил их по 3 соответствующим конвертам. Это задача о перестановках.

Общее число способов, которыми можно разложить 3 письма в 3 конверта, равно числу перестановок из 3 элементов, то есть $3!$ (три факториал).

Общее число равновероятных исходов: $n = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Давайте перечислим все возможные исходы. Обозначим письма П1 (Мише), П2 (Олегу), П3 (Пете) и соответствующие им конверты К1, К2, К3. Исход будем записывать в виде (содержимое К1, содержимое К2, содержимое К3).

1. (П1, П2, П3) — все письма в своих конвертах (3 совпадения).
2. (П1, П3, П2) — П1 в своем конверте, П2 и П3 перепутаны (1 совпадение).
3. (П2, П1, П3) — П3 в своем конверте, П1 и П2 перепутаны (1 совпадение).
4. (П2, П3, П1) — ни одно письмо не в своем конверте (0 совпадений).
5. (П3, П1, П2) — ни одно письмо не в своем конверте (0 совпадений).
6. (П3, П2, П1) — П2 в своем конверте, П1 и П3 перепутаны (1 совпадение).

Теперь найдем вероятности для каждого события.

A — все письма попадут к их адресатам

Событие A наступает, когда каждое письмо находится в предназначенном для него конверте. Такой исход только один — (П1, П2, П3).Число исходов, благоприятствующих событию A, равно $m(A) = 1$.Вероятность события A вычисляется по формуле классической вероятности $P(A) = \frac{m(A)}{n}$.
$P(A) = \frac{1}{6}$
Ответ: $P(A) = \frac{1}{6}$.

B — ни одно письмо не попадёт по назначению

Событие B наступает, если ни одно из писем не попадёт в свой конверт. Из нашего списка всех исходов видно, что таких случаев два: (П2, П3, П1) и (П3, П1, П2).Число исходов, благоприятствующих событию B, равно $m(B) = 2$.Вероятность события B:
$P(B) = \frac{m(B)}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: $P(B) = \frac{1}{3}$.

C — только одно из писем попадёт по назначению

Событие C наступает, если ровно одно письмо оказывается в правильном конверте, а два других — нет. Посмотрим на наш список исходов:

• (П1, П3, П2) — только П1 на своем месте.
• (П2, П1, П3) — только П3 на своем месте.
• (П3, П2, П1) — только П2 на своем месте.

Всего таких исходов 3.Число исходов, благоприятствующих событию C, равно $m(C) = 3$.Вероятность события C:
$P(C) = \frac{m(C)}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Ответ: $P(C) = \frac{1}{2}$.

D — только 2 письма попадут по назначению

Событие D наступает, если ровно два письма находятся в своих конвертах. Однако если два из трех писем лежат в правильных конвертах, то для третьего письма остается только один свободный конверт — его собственный. Таким образом, третье письмо также автоматически окажется на своем месте. Это означает, что не может быть ситуации, когда ровно два письма на месте, а третье — нет.Число исходов, благоприятствующих событию D, равно $m(D) = 0$.Вероятность события D:
$P(D) = \frac{m(D)}{n} = \frac{0}{6} = 0$
Ответ: $P(D) = 0$.

Найд ите Г (А), Г (В), Г (С) и Г (Д).

1095. Известно, что из 100 электрических лампочек 10 бракованных. Найдите вероятность того, что электрическая цепь, состоящая из двух соединенных последовательно лампочек (рис. 88), выбранных наугад, будет работать.

Рис. 88

Для того чтобы электрическая цепь, состоящая из двух последовательно соединенных лампочек, работала, необходимо, чтобы обе лампочки были исправными. Будем находить вероятность этого события по шагам.

Всего в партии 100 лампочек.
Из них 10 бракованных.
Следовательно, исправных (рабочих) лампочек: $100 - 10 = 90$.

Найдем вероятность того, что первая наугад взятая лампочка будет исправной. Обозначим это событие как A. Вероятность события A равна отношению числа исправных лампочек к общему числу лампочек:
$P(A) = \frac{90}{100}$

Теперь найдем вероятность того, что вторая взятая лампочка также будет исправной, при условии, что первая уже была исправной. Обозначим это событие как B. Так как одну исправную лампочку уже взяли, общее число лампочек и число исправных лампочек уменьшилось:
Осталось всего лампочек: $100 - 1 = 99$.
Осталось исправных лампочек: $90 - 1 = 89$.
Условная вероятность события B (при условии, что A произошло) равна:
$P(B|A) = \frac{89}{99}$

Вероятность того, что оба события произойдут, то есть обе лампочки будут исправными и цепь будет работать, равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго:
$P(\text{цепь работает}) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{90}{100} \cdot \frac{89}{99}$

Упростим полученное выражение:
$\frac{90}{100} \cdot \frac{89}{99} = \frac{9}{10} \cdot \frac{89}{99} = \frac{9}{10} \cdot \frac{89}{9 \cdot 11}$
Сократим дробь на 9:
$\frac{1}{10} \cdot \frac{89}{11} = \frac{89}{110}$

Ответ: $\frac{89}{110}$

1096. В мешке содержится 5 чёрных, 4 красных и 3 белых шара. Последовательно из мешка наугад вынимают 3 шара, причём каждый извлечённый шар возвращают в мешок перед тем, как вынимают следующий. Найдите вероятность того, что первый шар окажется чёрным, второй — красным и третий — белым.

Для решения задачи сначала определим общее количество шаров в мешке.

Всего шаров: $5$ чёрных + $4$ красных + $3$ белых = $12$ шаров.

По условию, шары вынимают последовательно, и каждый раз шар возвращают в мешок. Это означает, что общее количество шаров в мешке не меняется перед каждым извлечением, и, следовательно, исходы каждого извлечения являются независимыми событиями.

Нам нужно найти вероятность того, что произойдут три события в определённом порядке:
1. Первым вынут чёрный шар (событие А).
2. Вторым вынут красный шар (событие B).
3. Третьим вынут белый шар (событие C).

Найдём вероятность каждого из этих событий.

Вероятность вынуть чёрный шар: в мешке 5 чёрных шаров из 12.
$P(A) = \frac{5}{12}$

Вероятность вынуть красный шар: в мешке 4 красных шара из 12.
$P(B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Вероятность вынуть белый шар: в мешке 3 белых шара из 12.
$P(C) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Так как события независимы, вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:
$P = P(A) \times P(B) \times P(C)$

Подставим числовые значения и вычислим:
$P = \frac{5}{12} \times \frac{4}{12} \times \frac{3}{12} = \frac{5 \times 4 \times 3}{12 \times 12 \times 12} = \frac{60}{1728}$

Сократим полученную дробь. Проще всего это сделать, сократив дроби до перемножения:
$P = \frac{5}{12} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{5 \times 1 \times 1}{12 \times 3 \times 4} = \frac{5}{144}$

Таким образом, вероятность того, что первый шар окажется чёрным, второй — красным и третий — белым, равна $ \frac{5}{144} $.
Ответ: $ \frac{5}{144} $

1097. Два человека стреляют по мишени. Вероятность поразить мишень первым стрелком равна 0,6, а вторым — 0,3. Какова вероятность того, что если каждый сделает по одному выстрелу, то в мишени окажется только одна пробоина?

Для решения этой задачи введем обозначения для событий. Пусть:
$A$ — событие, при котором первый стрелок попадает в мишень.
$B$ — событие, при котором второй стрелок попадает в мишень.

Согласно условию, вероятности этих событий равны:
$P(A) = 0,6$
$P(B) = 0,3$

Также нам понадобятся вероятности противоположных событий (промахов). Обозначим их как $\bar{A}$ и $\bar{B}$.
Вероятность того, что первый стрелок промахнется:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4$
Вероятность того, что второй стрелок промахнется:
$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,3 = 0,7$

Событие "в мишени окажется только одна пробоина" означает, что произойдет один из двух взаимоисключающих (несовместных) исходов:
1. Первый стрелок попал ($A$), а второй промахнулся ($\bar{B}$).
2. Первый стрелок промахнулся ($\bar{A}$), а второй попал ($B$).

Выстрелы стрелков — независимые события, поэтому вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.
Найдем вероятность первого исхода:
$P(A \text{ и } \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B}) = 0,6 \cdot 0,7 = 0,42$
Найдем вероятность второго исхода:
$P(\bar{A} \text{ и } B) = P(\bar{A}) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,3 = 0,12$

Искомая вероятность того, что в мишени будет ровно одна пробоина, равна сумме вероятностей этих двух несовместных исходов.
$P(\text{одна пробоина}) = P(A \text{ и } \bar{B}) + P(\bar{A} \text{ и } B) = 0,42 + 0,12 = 0,54$

Ответ: 0,54