Номер 1096, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1096. В мешке содержится 5 чёрных, 4 красных и 3 белых шара. Последовательно из мешка наугад вынимают 3 шара, причём каждый извлечённый шар возвращают в мешок перед тем, как вынимают следующий. Найдите вероятность того, что первый шар окажется чёрным, второй — красным и третий — белым.

Для решения задачи сначала определим общее количество шаров в мешке.

Всего шаров: $5$ чёрных + $4$ красных + $3$ белых = $12$ шаров.

По условию, шары вынимают последовательно, и каждый раз шар возвращают в мешок. Это означает, что общее количество шаров в мешке не меняется перед каждым извлечением, и, следовательно, исходы каждого извлечения являются независимыми событиями.

Нам нужно найти вероятность того, что произойдут три события в определённом порядке:
1. Первым вынут чёрный шар (событие А).
2. Вторым вынут красный шар (событие B).
3. Третьим вынут белый шар (событие C).

Найдём вероятность каждого из этих событий.

Вероятность вынуть чёрный шар: в мешке 5 чёрных шаров из 12.
$P(A) = \frac{5}{12}$

Вероятность вынуть красный шар: в мешке 4 красных шара из 12.
$P(B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Вероятность вынуть белый шар: в мешке 3 белых шара из 12.
$P(C) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Так как события независимы, вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:
$P = P(A) \times P(B) \times P(C)$

Подставим числовые значения и вычислим:
$P = \frac{5}{12} \times \frac{4}{12} \times \frac{3}{12} = \frac{5 \times 4 \times 3}{12 \times 12 \times 12} = \frac{60}{1728}$

Сократим полученную дробь. Проще всего это сделать, сократив дроби до перемножения:
$P = \frac{5}{12} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{5 \times 1 \times 1}{12 \times 3 \times 4} = \frac{5}{144}$

Таким образом, вероятность того, что первый шар окажется чёрным, второй — красным и третий — белым, равна $ \frac{5}{144} $.
Ответ: $ \frac{5}{144} $