Номер 1094, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1094. Находясь на даче у бабушки, Николай написал 3 письма Мише, Олегу и Пете. Письма он положил в конверты, надписал адреса и отправил по почте. Вечером он вспомнил, что не проверил, совпадает ли каждое письмо с соответствующим адресом. Рассмотрите следующие события:

A — все письма попадут к их адресатам;

B — ни одно письмо не попадёт по назначению;

C — только одно из писем попадёт по назначению;

D — только 2 письма попадут по назначению.

Найдите $P(A)$, $P(B)$, $P(C)$ и $P(D)$.

Для решения этой задачи по теории вероятностей нам нужно определить общее число возможных исходов и число исходов, благоприятствующих каждому из событий A, B, C и D.

Николай написал 3 письма трем разным адресатам (Мише, Олегу и Пете) и случайным образом разложил их по 3 соответствующим конвертам. Это задача о перестановках.

Общее число способов, которыми можно разложить 3 письма в 3 конверта, равно числу перестановок из 3 элементов, то есть $3!$ (три факториал).

Общее число равновероятных исходов: $n = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Давайте перечислим все возможные исходы. Обозначим письма П1 (Мише), П2 (Олегу), П3 (Пете) и соответствующие им конверты К1, К2, К3. Исход будем записывать в виде (содержимое К1, содержимое К2, содержимое К3).

1. (П1, П2, П3) — все письма в своих конвертах (3 совпадения).
2. (П1, П3, П2) — П1 в своем конверте, П2 и П3 перепутаны (1 совпадение).
3. (П2, П1, П3) — П3 в своем конверте, П1 и П2 перепутаны (1 совпадение).
4. (П2, П3, П1) — ни одно письмо не в своем конверте (0 совпадений).
5. (П3, П1, П2) — ни одно письмо не в своем конверте (0 совпадений).
6. (П3, П2, П1) — П2 в своем конверте, П1 и П3 перепутаны (1 совпадение).

Теперь найдем вероятности для каждого события.

A — все письма попадут к их адресатам

Событие A наступает, когда каждое письмо находится в предназначенном для него конверте. Такой исход только один — (П1, П2, П3).Число исходов, благоприятствующих событию A, равно $m(A) = 1$.Вероятность события A вычисляется по формуле классической вероятности $P(A) = \frac{m(A)}{n}$.
$P(A) = \frac{1}{6}$
Ответ: $P(A) = \frac{1}{6}$.

B — ни одно письмо не попадёт по назначению

Событие B наступает, если ни одно из писем не попадёт в свой конверт. Из нашего списка всех исходов видно, что таких случаев два: (П2, П3, П1) и (П3, П1, П2).Число исходов, благоприятствующих событию B, равно $m(B) = 2$.Вероятность события B:
$P(B) = \frac{m(B)}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: $P(B) = \frac{1}{3}$.

C — только одно из писем попадёт по назначению

Событие C наступает, если ровно одно письмо оказывается в правильном конверте, а два других — нет. Посмотрим на наш список исходов:

• (П1, П3, П2) — только П1 на своем месте.
• (П2, П1, П3) — только П3 на своем месте.
• (П3, П2, П1) — только П2 на своем месте.

Всего таких исходов 3.Число исходов, благоприятствующих событию C, равно $m(C) = 3$.Вероятность события C:
$P(C) = \frac{m(C)}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Ответ: $P(C) = \frac{1}{2}$.

D — только 2 письма попадут по назначению

Событие D наступает, если ровно два письма находятся в своих конвертах. Однако если два из трех писем лежат в правильных конвертах, то для третьего письма остается только один свободный конверт — его собственный. Таким образом, третье письмо также автоматически окажется на своем месте. Это означает, что не может быть ситуации, когда ровно два письма на месте, а третье — нет.Число исходов, благоприятствующих событию D, равно $m(D) = 0$.Вероятность события D:
$P(D) = \frac{m(D)}{n} = \frac{0}{6} = 0$
Ответ: $P(D) = 0$.