Номер 1085, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1085. Трёхзначное число $x$, кратное 5, можно представить в виде суммы куба и квадрата одного и того же натурального числа. Найдите число $x$.

Пусть искомое трёхзначное число равно $x$, а натуральное число, о котором говорится в условии, равно $n$.

Согласно условию задачи, число $x$ можно представить в виде суммы куба и квадрата числа $n$. Это можно записать в виде формулы:$x = n^3 + n^2$

Вынесем общий множитель $n^2$ за скобки для удобства вычислений:$x = n^2(n+1)$

Также в условии сказано, что $x$ — это трёхзначное число. Это означает, что $x$ находится в диапазоне от 100 до 999:$100 \le x \le 999$

Подставим в это неравенство выражение для $x$ через $n$:$100 \le n^2(n+1) \le 999$

Теперь найдем возможные значения натурального числа $n$ путем подбора.

• При $n=4$: $x = 4^2(4+1) = 16 \cdot 5 = 80$. Это число меньше 100, значит $n$ должно быть больше 4.
• При $n=5$: $x = 5^2(5+1) = 25 \cdot 6 = 150$. Это число входит в искомый диапазон.
• При $n=9$: $x = 9^2(9+1) = 81 \cdot 10 = 810$. Это число также входит в искомый диапазон.
• При $n=10$: $x = 10^2(10+1) = 100 \cdot 11 = 1100$. Это число больше 999, значит $n$ должно быть меньше 10.

Таким образом, натуральное число $n$ может принимать значения от 5 до 9 включительно: $n \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$.

Третье условие состоит в том, что число $x$ кратно 5, то есть делится на 5 без остатка.Следовательно, выражение $n^2(n+1)$ должно быть кратно 5.Поскольку 5 — простое число, для делимости произведения на 5 необходимо, чтобы хотя бы один из множителей делился на 5. Это означает, что либо $n^2$ делится на 5 (что равносильно тому, что $n$ делится на 5), либо $n+1$ делится на 5.

Проверим, какие из найденных возможных значений $n \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$ удовлетворяют этому условию:

• Для $n=5$: число 5 делится на 5. Это значение подходит.
• Для $n=6$: ни 6, ни $6+1=7$ не делятся на 5. Не подходит.
• Для $n=7$: ни 7, ни $7+1=8$ не делятся на 5. Не подходит.
• Для $n=8$: ни 8, ни $8+1=9$ не делятся на 5. Не подходит.
• Для $n=9$: число 9 не делится на 5, но $9+1=10$ делится на 5. Это значение подходит.

Итак, условиям задачи удовлетворяют два значения $n$: 5 и 9.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого из этих значений $n$:

• При $n=5$ получаем: $x = 5^2(5+1) = 25 \cdot 6 = 150$.
• При $n=9$ получаем: $x = 9^2(9+1) = 81 \cdot 10 = 810$.

Оба числа, 150 и 810, удовлетворяют всем условиям задачи: они трёхзначные, кратны 5 и являются суммой куба и квадрата одного и того же натурального числа.

Ответ: 150, 810.