Номер 1081, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1081. Докажите, что при положительных значениях a, b и c верно неравенство $\frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc} \ge 27$.

Для доказательства данного неравенства преобразуем его левую часть, разделив каждый множитель в числителе на соответствующую переменную из знаменателя:

$$ \frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc} = \left(\frac{a^2 + a + 1}{a}\right) \left(\frac{b^2 + b + 1}{b}\right) \left(\frac{c^2 + c + 1}{c}\right) $$

Теперь рассмотрим каждый множитель по отдельности. Для первого множителя имеем:

$$ \frac{a^2 + a + 1}{a} = a + 1 + \frac{1}{a} $$

По условию задачи, переменная $a$ имеет положительное значение ($a > 0$). Следовательно, мы можем применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для трех положительных чисел: $a$, $1$ и $\frac{1}{a}$.

Среднее арифметическое этих чисел не меньше их среднего геометрического:

$$ \frac{a + 1 + \frac{1}{a}}{3} \ge \sqrt[3]{a \cdot 1 \cdot \frac{1}{a}} $$

Упростим правую часть неравенства:

$$ \frac{a + 1 + \frac{1}{a}}{3} \ge \sqrt[3]{1} $$

$$ \frac{a + 1 + \frac{1}{a}}{3} \ge 1 $$

Умножив обе части на 3, получим:

$$ a + 1 + \frac{1}{a} \ge 3 $$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{a^2 + a + 1}{a} \ge 3$. Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда все три числа равны, то есть $a = 1 = \frac{1}{a}$, что верно при $a=1$.

Аналогичные рассуждения применяются и для переменных $b$ и $c$, так как они также положительны:

$$ \frac{b^2 + b + 1}{b} = b + 1 + \frac{1}{b} \ge 3 $$

$$ \frac{c^2 + c + 1}{c} = c + 1 + \frac{1}{c} \ge 3 $$

Равенство в этих случаях достигается при $b=1$ и $c=1$ соответственно.

Поскольку каждый из трех множителей $\left(\frac{a^2 + a + 1}{a}\right)$, $\left(\frac{b^2 + b + 1}{b}\right)$ и $\left(\frac{c^2 + c + 1}{c}\right)$ является положительным числом, мы можем перемножить полученные неравенства:

$$ \left(\frac{a^2 + a + 1}{a}\right) \left(\frac{b^2 + b + 1}{b}\right) \left(\frac{c^2 + c + 1}{c}\right) \ge 3 \cdot 3 \cdot 3 $$

$$ \frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc} \ge 27 $$

Неравенство доказано. Равенство достигается при $a = b = c = 1$.

Ответ: Неравенство доказано с использованием неравенства Коши для каждого из множителей, полученных после преобразования исходного выражения. Что и требовалось доказать.